Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

11
Задача 2.
Стационарное квантовое состояние частицы массы m
0
, дви-
жущейся в одномерной потенциальной яме ширины a с абсолютно непрони-
цаемыми стенками, описывается волновой функцией
()
Ψ
n
x
a
nx
a
xa
xxa
=
<<
<>
2
0
00
sin ,
,,
π
, (3.2)
где n = 1, 2, ... - квантовое число, определяющее состояние частицы.
Определите: а) среднее значение координаты частицы
x , б) среднее
значение проекции импульса < p
x
> и в) среднее значение квадрата импульса
частицы < p
2
>.
Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что
ΨΨ
nn
*
=
, находим
() (){ } () ()
∫∫
Ψ⋅⋅Ψ=ΨΨ=
+∞
∞−
a
nnnn
xxxxxxxxx
0
*
dd
ˆ
.
Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем
x
a
x
nx
a
x
a
x
nx
a
x
a
aa
==−
=
∫∫
2 1
1
2
2
2
00
sin d cos d
ππ
.
Этот результат физически достаточно очевиден. Частица движется в про-
странстве между непроницаемыми стенками ямы x=0 и x=a, отражаясь от
них. Поэтому среднее значение координаты частицы должно соответство-
вать центру ямы.
б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора
$
p
x
, находим
среднее значение проекции импульса
() (){} ()
.0sind
2
dd
ˆ
0
2
0
2
0
*
==
Ψ
=
=
Ψ
Ψ=ΨΨ=
∫
∫∫
+∞
∞−
a
a
n
a
n
nnxnx
a
xn
ia
x
xi
x
xi
xxxpxp
π
∂
∂
∂
∂
!!
!
Отметим, что значение < p
x
>=0 для частицы в яме получается и в
классической механике. Для классической частицы этот результат очевиден,
     Задача 2. Стационарное квантовое состояние частицы массы m0, дви-
жущейся в одномерной потенциальной яме ширины a с абсолютно непрони-
цаемыми стенками, описывается волновой функцией
                              2   nπx
                              sin                 ,           0< x < a
                   Ψn (x ) =  a    a                                     ,        (3.2)
                                0                 , x < 0, x > a
                             
где n = 1, 2, ... - квантовое число, определяющее состояние частицы.
     Определите: а) среднее значение координаты частицы x , б) среднее

значение проекции импульса < px > и в) среднее значение квадрата импульса
частицы < p2 >.
     Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что Ψn* = Ψn , находим
                               +∞                      a
                     x = ∫ Ψ (x ){xˆΨn (x )}d x = ∫ Ψn (x )⋅ x ⋅ Ψn (x )d x .
                                    *
                                    n
                               −∞                      0


Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем
                       a                           a
                 2          nπx      1            2nπx     a
              x = ∫ x sin 2     d x = ∫ x 1 − cos      dx = .
                 a0          a       a0             a      2

Этот результат физически достаточно очевиден. Частица движется в про-
странстве между непроницаемыми стенками ямы x=0 и x=a, отражаясь от
них. Поэтому среднее значение координаты частицы должно соответство-
вать центру ямы.
     б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора p$x , находим
среднее значение проекции импульса
                               +∞
                                                                  ! ∂Ψn 
                                                           a
                    p x = ∫ Ψn* (x ){pˆ x Ψn (x )}d x = ∫ Ψn (x )        d x =
                          −∞                            0         i  ∂ x 
                                                   a
                    ! ∂Ψ 2
                           a
                               !     nπ x
                   = ∫ n d x = sin 2      = 0.
                    2i 0 ∂x   ia      a 0

     Отметим, что значение < px >=0 для частицы в яме получается и в
классической механике. Для классической частицы этот результат очевиден,
                                                                                           11

Страницы