Измерение физических величин в квантовых системах. Мартинсон Л.К - 21 стр.

      Решение. Коммутатор операторов L̂x и L̂y имеет вид

                                                               [Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ
                                                                 x           y        x       y   − Lˆ y Lˆ x

С учетом явного вида операторов (2.5) имеем

          [Lˆ , Lˆ ]= −!  y ∂∂z − z ∂∂y  z ∂∂x − x ∂∂z  −  z ∂∂x − x ∂∂z  y ∂∂z − z ∂∂y  =
            x    y
                           2

                                                                                                                                         
                   ∂       ∂         ∂    2
                                                ∂         ∂         ∂2
                                                                              ∂           2                     2                2               2
          = − ! 2  y + yz        − yx 2 − z 2      + zx      − zy      + z2      +
                   ∂x     ∂ z∂ x     ∂z       ∂y∂x      ∂y∂z      ∂x∂z      ∂x∂y
                 ∂2       ∂        ∂2        2   ∂   ∂ 
          + xy        − x    − xz       = − !  y − x  = i!Lˆ z .
                 ∂z 2
                          ∂y      ∂z∂y          ∂x   ∂y 

      Точно также можно получить коммутационные соотношения для дру-
гих пар операторов проекций момента импульса:
                         [Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ ;
                               y       z           x                                                            [Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .
                                                                                                                    z   x            y


Вывод: три проекции момента импульса Lx, Ly, Lz не могут быть одновремен-
но точно измерены.
      Задача 8. Докажите, что оператор квадрата момента импульса L̂2 ком-
мутирует с операторами L̂x , L̂y и L̂z .

      Решение. По определению оператора L̂2
                                                                 Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .

Следовательно
                        [Lˆ , Lˆ ]= [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]
                           2
                                   x
                                               2
                                               x       x
                                                                         2
                                                                         y       x
                                                                                              2
                                                                                              z      x                                   (3.8)

Для первого слагаемого в (3.8) находим
                                           [Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ
                                               2
                                               x   x
                                                                     2
                                                                     x       x   − Lˆ x Lˆ2x = Lˆ3x − Lˆ3x = 0 .

Второе и третье слагаемое в (3.8) преобразуем, воспользовавшись коммута-
ционными соотношениями, полученными в задаче 7:
                         [Lˆ , Lˆ ] = −i!Lˆ ;
                               y       x                   z                                                    [Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .
                                                                                                                    z   x            y


С учетом этих соотношений



                                                                                                                                                      21