Составители:
Рубрика:
193
Интерес к фракталам вызван тем, что, с одной стороны, фрактал —
это сложный математический объект в евклидовом пространстве,
имеющий дробную метрическую размерность, либо метрическую
размерность, строго большую топологической. С другой стороны,
разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, рынок
ценных бумаг — это тоже фракталы.
Цель изучения фракталов (и хаоса в целом) — предсказать
закономерность в системах, которые могут казаться непредсказуемыми и
абсолютно хаотическими. Для более глубокого изучения фракталов
удобнее всего описывать их в соответствии с общепринятой
классификацией. Среди многообразия видов фракталов можно выделить
геометрические, алгебраические, стохастические и физические фракталы.
Геометрические фракталы в двухмерном случае получают с
помощью некоторой ломаной или поверхности, называемой генератором,
т.е. набор отрезков, из которого будет производиться построение фрактала.
За каждый шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на указанный набор отрезков (генератор). В результате
бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический
фрактал. В качестве примеров можно привести кривую Коха, треугольник
Серпинского, дерево Пифагора. В машинной графике, например,
геометрические фракталы используются для получения изображений
деревьев, кустов, береговой линии. Использование двухмерных
геометрических фракталов также необходимо для создания объемных
текстур.
Алгебраические фракталы получили своё название, потому что
строятся они на основе алгебраических формул. Известно, что нелинейные
динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями.
То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого
числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое
устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой
областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в
рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое
пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов.
Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области
притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый
портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора
цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми
многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала
возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень
сложные нетривиальные структуры.
В качестве примеров алгебраических аттракторов можно привести
множество Мандельброта, множество Жюлиа, бассейны Ньютона.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- …
- следующая ›
- последняя »
