Векторная алгебра. Машанов В.И - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

9. Формулы преобразования координат.
Пусть на плоскости относительно аффинной системы
{
}
21
,, llO , которую будем называть
“старой”, даны элементы
),(
0201
*
ccO ,
),(
1211
*
1
ccl , (1)
),(
2221
*
2
ccl
“новой” системы координат. Если точка
M
плоскости имеет старые координаты ),(
21
xxM
и новые координаты ),(
*
2
*
1
xxM , то
*
221
*
111011
xcxccx ++= ,
*
222
*
112021
xcxccx ++= . (2)
Эти формулы называются формулами преобразования А.С.К.. В частном случае, когда
системы координат имеют разные начала O и
*
O , но общий базис
{
}
21
,ll , формулы
преобразования приобретают вид
*
1011
xcx += ,
*
2022
xcx += ,
и называются формулами параллельного переноса системы координат.
Пример. Записать формулы перехода в аффинной системе координат с
*
O (2, -1),
*
1
l (3, 5),
*
2
l (-4, 6) и найти новые координаты точки
M
(4, 15).
Коэффициентами первой (второй) формулы (2) должен быть столбец первых (вторых)
координат в (1):
*
2
*
11
432 xxx −+= ,
*
2
*
12
651 xxx ++−= .
Подставив в эти формулы вместо
21
, xx координаты точки
M
, и вычислив
*
2
*
1
, xx , получаем
*
M
(2, 1).
Формулы преобразования декартовой системы координат
αα
sincos
**
01
yxcx −+= ,
αα
cossin
**
02
yxcy −+=
при
*
O =O (0,0) принимают вид
αα
sincos
**
yxx −= ,
αα
cossin
**
yxy −= ,
и называются формулами поворота системы координат. Формулы параллельного переноса
имеют вид:
*
01
xcx += , 
9. Формулы преобразования координат.
                                                                 {     }
Пусть на плоскости относительно аффинной системы O, l 1 , l 2 , которую будем называть
“старой”, даны элементы
                      O * (c01 , c02 ) ,
                     l *1 (c11 , c12 ) ,                                  (1)
                     l *2 (c 21 , c 22 )
“новой” системы координат. Если точка M плоскости имеет старые координаты M ( x1 , x 2 )
и новые координаты M ( x1* , x 2* ) , то
                                         x1 = c01 + c11 x1* + c 21 x 2* ,
                                    x1 = c02 + c12 x1* + c 22 x 2* .       (2)

Эти формулы называются формулами преобразования А.С.К.. В частном случае, когда
                                                                            {    }
системы координат имеют разные начала O и O * , но общий базис l 1 , l 2 , формулы
преобразования приобретают вид
                             x1 = c 01 + x1* ,
                            x 2 = c02 + x 2* ,
и называются формулами параллельного переноса системы координат.
Пример. Записать формулы перехода в аффинной системе координат с O * (2, -1), l *1 (3, 5),
l *2 (-4, 6) и найти новые координаты точки M (4, 15).
Коэффициентами первой (второй) формулы (2) должен быть столбец первых (вторых)
координат в (1):

                                   x1 = 2 + 3x1* − 4 x 2* ,
                                   x 2 = −1 + 5 x1* + 6 x 2* .
Подставив в эти формулы вместо x1 , x 2 координаты точки M , и вычислив x1* , x 2* , получаем
M * (2, 1).
Формулы преобразования декартовой системы координат
                             x = c 01 + x * cos α − y * sin α ,
                                  y = c02 + x * sin α − y * cos α
при O * = O (0,0) принимают вид
                            x = x * cos α − y * sin α ,
                             y = x * sin α − y * cos α ,
и называются формулами поворота системы координат. Формулы параллельного переноса
имеют вид:
                                 x = c01 + x * ,

Страницы