Векторная алгебра. Машанов В.И - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 3. Найти высоту тетраэдра, построенного на векторах a (1, -2, 2), b (1, -6, -8), c (1, -2, 2).
Если отложить векторы из одной точки, то они определят тетраэдр (пирамиду) с ребрами a ,b , c ;
объем
6
1
.
±=
тетр
V ( a ,b , c ) =
1241
861
221
6
1
−
−−
−
± = 10)60(
6
1
=−± .
Площадь основания, построенного на векторах a ,b есть площадь треугольника:
[ ]
.15)2,5,14()4,10,28(
2
1
861
221
2
1
,
2
1
=−=−=
−−
−==
∆
kji
baS
Тогда
.2
3
==
S
V
H
8. Аффинная и декартова системы координат и простейшие
задачи
Фигура
{
}
21
,, llO , состоящая из точки O и векторного базиса
{
}
21
,ll называется аффинной
системой координат (сокращенно- А.С.К.) на плоскости (
{
}
321
,,, lllO в пространстве).
Всякая точка
M
определяет вместе с точкой О, называемой началом системы координат, вектор
OM , называемый радиус- вектором точки М относительно данной системы координат. Будем
обозначать радиус-вектор точки той же буквой, отличая его, как обычно, по стрелке:
OM =
M
.
Координатами точки называются координаты ее радиус-вектора.
Итак,
M
= ),(),(
21212211
xxMxxMxx ⇔⇔+ ll .
Координаты вектора, заданного началом ),,(
'
3
'
2
'
1
'
xxxM и концом ),,(
''
3
''
2
''
1
''
xxxM равны разностям
соответствующих координат конца и начала:
),,(
'
3
''
3
'
2
''
2
'
1
''
1
'''
xxxxxxMM −−−= .
Каждой точке )(
i
xM и вектору )(
i
aa можно сопоставить точку
'
M
такую, что aMM =
'''
(см.
рис.6). из треугольника получаем
aMM +=
'
,
следовательно,
'
M
(
ii
ax + ). Полученная точка
'
M
называется сдвигом точки
M
на вектор a . 
Пример 3. Найти высоту тетраэдра, построенного на векторах a (1, -2, 2), b (1, -6, -8), c (1, -2, 2).
Если отложить векторы из одной точки, то они определят тетраэдр (пирамиду) с ребрами a , b , c ;
 объем
                                                      1 −2 2
                                  1                 1             1
                        Vтетр. = ± ( a , b , c ) = ± 1 − 6 − 8 = ± (−60) = 10 .
                                  6                 6             6
                                                      1 − 4 12
Площадь основания, построенного на векторах a , b есть площадь треугольника:
                                                   i  j k
                                          1
                                                 [ ]
                                                 1         1
                                     S ∆ = a, b = 1 − 2 2 = (28,10,−4) = (14,5,−2) = 15.
                                          2      2         2
                                                   1 −6 −8
Тогда
                           3V
                    H=        = 2.
                            S

 8. Аффинная и декартова системы координат и простейшие
задачи
         {         }                                                                 {   }
Фигура O, l 1 , l 2 , состоящая из точки O и векторного базиса l 1 , l 2 называется аффинной
                                                                                 {
системой координат (сокращенно- А.С.К.) на плоскости ( O, l 1 , l 2 , l 3 в пространстве).   }
Всякая точка M определяет вместе с точкой О, называемой началом системы координат, вектор
  OM , называемый радиус- вектором точки М относительно данной системы координат. Будем
обозначать радиус-вектор точки той же буквой, отличая его, как обычно, по стрелке:
                                             OM = M .
Координатами точки называются координаты ее радиус-вектора.
Итак,
             M = x1 l 1 + x 2 l 2 ⇔ M ( x1 , x 2 ) ⇔ M ( x1 , x 2 ) .
Координаты вектора, заданного началом M ' ( x1' , x 2' , x3' ) и концом M '' ( x1'' , x2'' , x3'' ) равны разностям
соответствующих координат конца и начала:
                       M ' M '' = ( x1'' − x1' , x 2'' − x 2' , x3'' − x3' ) .
Каждой точке M ( xi ) и вектору a(ai ) можно сопоставить точку M ' такую, что M ' M '' = a (см.
рис.6). из треугольника получаем
                                 M ' = M + a,
следовательно, M ' ( xi + ai ). Полученная точка M ' называется сдвигом точки M на вектор a .

Страницы