Векторная алгебра. Машанов В.И - 10 стр.

                                                         i   j     k
                                                                        x     y1
                                       [ a , b ] = x1        y1    0 =k⋅ 1       .
                                                                        x2    y2
                                                   x2        y2    0


Следовательно, для a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 )
                                                              x1       y1
                                                     S=±                  .
                                                              x2       y2



                                   [a ,b ]


                                           c
                                                 h           b
                                                g
                                                             a
                                          Рис.5

Пример. Найти вектор высоты параллепипеда, построенного на векторах
                                a (-1, -1, 1), b (0, -3, 1), c (4, 0, 2).
  Отложим векторы a , b , c от одной точки О и опустим перпендикуляр на плоскость векторов a
и b (см.рис.5). Вектор c можно представить в виде суммы двух составляющих
                           c= g + h,
из которых h ⊥ a , b , g компланарен с a и b . Найдем
                                   i        j        k
                                                  −1 1 −1 1 −1 −1 
                        [ a , b ] = − 1 − 1 1 =        ,−     ,        = (2,1,3)
                                                                        
                                                   − 3 1    0 1   0 − 3
                                     0 −3 1                            


Так как h || [ a , b ], то h = λ [ a , b ] = (2 λ , λ ,3 λ ). Составляющая g = c - h = (4-2 λ , - λ , -3 λ )
компланарна с a и b , если ( a , b , g )=0 (см.следующий параграф). Получаем уравнение

                                                    −1       −1         1
                                                   0         −3     1 = 0,
                                                4 − 2λ       − λ 2 − 3λ
дающее λ =1, следовательно h (2, 1, 3), g (2, -1, -1).


 7. Смешанное произведение векторов.

Выражение ( a ,[ b , c ] ) называется смешанным произведением векторов.
Смешанное произведение векторов не зависит от положения символа векторного произведения в
нем;