Векторная алгебра. Машанов В.И - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Условие перпендикулярности (иногда говорят ортогональности) векторов имеет вид:
( a ,b ) =0
или
212121
zzyyxx ++ =0.
Пример 1. Найти векторную проекцию вектора q на вектор p (см. рис.4).
Если отложим векторы p и q из одной точки О и из конца вектора q опустим перпендикуляр на
вектор p , то определится вектор OK , называемый ортогональной проекцией вектора q на вектор
p :
OK = пр q
⊥
p
.
Единичный вектор
0
p = p :| p | дает возможность получить вектор OK :
OK =
0
p OK
⋅
=
0
p · пр q
⊥
p
=
0
p ·| q |
ϕ
cos
=
||||
),(
qp
qp
q
p
p
⋅
⋅⋅
.
Окончательно,
OK = p ·
2
||
),(
p
qp
.
Пример 2. В треугольнике АВС
AB
(2,5,-3), AC (1,4,6). Найти вектор высоты
BK
.
По предыдущей формуле получаем вектор
AK
= )3,5,2(
−
38
4
)3,5,2(
634512
222
⋅−=
+
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅ ,
BK
=
AK
-
AB
=
−−
19
51
,
19
85
,
19
34
.
Пример 3. В плоскости векторов a (1,-2,3), b (2,0,1) найти вектор, перпендикулярный вектору a .
Искомый вектор bac
µλ
+= имеет координаты )3,2,2(
µ
λ
λ
µ
λ
+
−
+
. Условие
перпендикулярности 0),( =ac дает уравнение 0514
=
+
µ
λ
. Исключая, например,
14
λ
µ
= ,
получаем множество векторов c . Так как
λ
произвольно, то можно записать так: c =
λ
( ba 145 + ),
∀
λ
∈
R
(
R
- поле действительных чисел).
Пример 4. Средствами векторной алгебры доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.
Возьмем в ромбе
a =
AB
, b = AC , | a | = |b |. Диагонали ромба суть векторы a +b и a -b . Так как
( a +b , a -b )= 0||||
2
22
=−=− baba , то a +b
⊥
a -b
О
с
К
p
ϕ
q
Рис.4 
     Условие перпендикулярности (иногда говорят ортогональности) векторов имеет вид:
                                  ( a , b ) =0
                или
                                  x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 =0.

  Пример 1. Найти векторную проекцию вектора q на вектор p (см. рис.4).




                               q

                           ϕ
                О      с                      К           p
                               Рис.4

Если отложим векторы p и q из одной точки О и из конца вектора q опустим перпендикуляр на
вектор p , то определится вектор OK , называемый ортогональной проекцией вектора q на вектор
p:
                                                  ⊥
                                   OK = пр q      p   .

Единичный вектор p0 = p :| p | дает возможность получить вектор OK :
                                                              ⊥                         p        ( p, q)
                           OK = p0 ⋅ OK = p0 · пр q           p   = p0 ·| q | cos ϕ =     ⋅q ⋅             .
                                                                                        p      | p |⋅| q |
Окончательно,
                                   ( p, q )
                      OK = p ·                .
                                    | p |2

  Пример 2. В треугольнике АВС AB (2,5,-3), AC (1,4,6). Найти вектор высоты BK .
       По предыдущей формуле получаем вектор
                                   2 ⋅1 + 5 ⋅ 4 − 3 ⋅ 6              4
                   AK = (2,5,−3) ⋅                      = (2,5,−3) ⋅ ,
                                     2 +5 +3
                                       2     2     2
                                                                    38

                                           34 85 51 
                           BK = AK - AB =  − ,− ,  .
                                           19 19 19 
  Пример 3. В плоскости векторов a (1,-2,3), b (2,0,1) найти вектор, перпендикулярный вектору a .
Искомый вектор c = λ a + µ b имеет координаты (λ + 2 µ ,−2λ ,3λ + µ ) . Условие
                                                                                                               14λ
перпендикулярности (c, a) = 0 дает уравнение 14λ + 5µ = 0 . Исключая, например, µ =                                ,
                                                                                                                5
получаем множество векторов c . Так как λ произвольно, то можно записать так: c =
λ ( 5a + 14b ), ∀ λ ∈ R ( R - поле действительных чисел).

Пример 4. Средствами векторной алгебры доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.
Возьмем в ромбе a = AB , b = AC , | a | = | b |. Диагонали ромба суть векторы a + b и a - b . Так как
                  2    2
( a + b , a - b )= a − b =| a | 2 − | b |= 0 , то a + b ⊥ a - b

Страницы