Векторная алгебра. Машанов В.И - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Если l - базис прямой, то любой вектор a этой прямой можно в силу теоремы 1 представить в
виде
a =
1
l⋅x .
Базисом плоскости называется любая пара линейно независимых векторов.
На плоскости с базисом
{
}
21
,ll
a =
11
lx +
22
lx .
Базисом пространства называется любая тройка линейно зависимых векторов. В пространстве с
базисом
{
}
321
,, lll
a =
11
lx +
22
lx +
33
lx .
Итак, задание базиса сопоставляет вектору число, пару или тройку чисел.
Координатами вектора в данном базисе называются коэффициенты линейной зависимости,
выражающей его через базис.
Теорема 4. Координаты вектора в данном базисе единственны.
Теорема 5. Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциям над их
соответствующими координатами.
Например, a (
321
,, aaa ), b (
321
,, bbb ). Тогда координатами вектора bac 23 −= будут числа
kkk
bac 23 −= , .3,2,1
=
k
Согласно теореме 1 условие b =
λ
a параллельности векторов есть условие
i
i
ab
λ
= или
λ
===
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
.
Записав очевидное соотношение
21
ll = в виде
3211
001 llll ⋅+⋅+⋅= , получаем )0,0,1(
1
l ,
аналогично )0,1,0(
2
l , )1,0,0(
3
l в базисе
{
}
321
,, lll .
4.Проекция вектора на ось.
Прямая с заданным на ней базисным вектором l называется осью.
Пусть дан еще вектор v (не параллельный l ). Тогда
{
}
v,l - базис плоскости, и любой вектор
a = vyx +l .
Вектор lx (см. рис 3) называется составляющей вектора a по данной оси, а число (координата)
x
называется проекцией вектора на ось (или на вектор l ) параллельно v :
x
= пр a
v
l
l
v
a
lx
a
lx
Рис. 3 
 Если l - базис прямой, то любой вектор a этой прямой можно в силу теоремы 1 представить в
виде
                                      a = x ⋅ l1 .

Базисом плоскости называется любая пара линейно независимых векторов.
                               {
На плоскости с базисом l 1 , l 2        }
                                  a = x1 l 1 + x 2 l 2 .
Базисом пространства называется любая тройка линейно зависимых векторов. В пространстве с
           {          }
базисом l 1 , l 2 , l 3
                                        a = x1 l 1 + x 2 l 2 + x3 l 3 .

Итак, задание базиса сопоставляет вектору число, пару или тройку чисел.
Координатами вектора в данном базисе называются коэффициенты линейной зависимости,
выражающей его через базис.
Теорема 4. Координаты вектора в данном базисе единственны.
Теорема 5. Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциям над их
соответствующими координатами.
Например, a ( a1 , a 2 , a3 ), b ( b1 , b2 , b3 ). Тогда координатами вектора c = 3a − 2b будут числа
c k = 3a k − 2bk , k = 1,2,3.
Согласно теореме 1 условие b = λ a параллельности векторов есть условие b i = λ ai или

                                    a1  a   a
                                       = 2 = 3 = λ .
                                    b1  b2  b3

Записав очевидное соотношение l 1 = l 2 в виде l 1 = 1 ⋅ l 1 + 0 ⋅ l 2 + 0 ⋅ l 3 , получаем l 1 (1,0,0) ,
                                                    {
аналогично l 2 (0,1,0) , l 3 (0,0,1) в базисе l 1 , l 2 , l 3 .  }

4.Проекция вектора на ось.

Прямая с заданным на ней базисным вектором l называется осью.
                                                                         { }
Пусть дан еще вектор v (не параллельный l ). Тогда l, v - базис плоскости, и любой вектор
                                                     a = xl + y v .
Вектор xl (см. рис 3) называется составляющей вектора a по данной оси, а число (координата) x
называется проекцией вектора на ось (или на вектор l ) параллельно v :
                                                v
                            x = пр a        l


                                                                     a

                              a
               v

                     l             xl                                          xl
                                                        Рис. 3

Страницы