Векторная алгебра. Машанов В.И - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Очевидно, что число
x
не зависит от положения вектора a на плоскости. Кроме того, как
координата, проекция удовлетворяет свойствам:
1. пр( a +b )= пр a +пр b ,
2. пр
λ
a =
λ
·пр a .
Если v
⊥
l , то проекция называется ортогональной и обозначается пр a
v⊥
l
. В этом случае
всегда берется |l |=1.
Теорема.
пр a
⊥
l
=| a |cos ),( al∠
5. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением ( a ,b ) векторов a и b называется число, равное произведению их
модулей на косинус угла между ними:
(a ,b )=| a |·|b |cos ),( ba∠ .
Свойства скалярного произведения:
1. Скалярное произведение коммутативно:
(a ,b ) = (b , a ).
2. Скалярное произведение дистрибутивно:
(a ,b + c ) = ( a ,b )+( a ,c ) .
3. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
(
λ
a
,b ) =
λ
( a ,b ).
Пользуясь этими свойствами, для векторов a (
21
,aa ), b (
21
,bb ) можно записать
( a ,b ) = (
2211
ll aa + ,
2211
ll bb + ) = (
11
ba
21
,ll ) + (
1221
baba + )(
21
,ll ) + (
22
ba
21
,ll ).
Следовательно, в произвольном базисе
{
}
21
,ll невозможно подсчитать скалярное произведение
векторов по их координатам, если не даны |
1
l |, |
2
l |,
∠
(
21
,ll ).
Декартовым называется базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов.
В таком базисе векторы обозначаются
1
l = i ,
2
l = j на плоскости, i , j , k в пространстве. В
декартовом базисе координаты обозначаются не номером, а буками
x
,
y
(в пространстве-
x
,
y
,
z
).
Для векторов a (
111
,, zyx ), b (
222
,, zyx ) в декартовом базисе
(a ,b ) =
212121
zzyyxx
+
+
,
|a |=
2
1
2
1
2
1
),( zyxaa ++= ,
cos
),( ba∠ =
||||
),(
ba
ba
⋅
=
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
zyxzyx
zzyyxx
++++
++
. 
Очевидно, что число x не зависит от положения вектора a на плоскости. Кроме того, как
координата, проекция удовлетворяет свойствам:
                       1. пр( a + b )= пр a +пр b ,
                                  2. пр λ a = λ ·пр a .
                                                                                                            ⊥v
Если v ⊥ l , то проекция называется ортогональной и обозначается пр a                                        l     . В этом случае

всегда берется | l |=1.

Теорема.
                                           ⊥
                                  пр a     l    =| a |cos ∠(l, a)



5. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением ( a , b ) векторов a и b называется число, равное произведению их
модулей на косинус угла между ними:

                        ( a , b )=| a |·| b |cos ∠(a, b) .

Свойства скалярного произведения:
 1. Скалярное произведение коммутативно:
                ( a , b ) = ( b , a ).
 2. Скалярное произведение дистрибутивно:
                ( a , b + c ) = ( a , b )+( a , c ) .
 3. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
                ( λ a , b ) = λ ( a , b ).

  Пользуясь этими свойствами, для векторов a ( a1 , a 2 ), b ( b1 , b2 ) можно записать
    ( a , b ) = ( a1 l 1 + a 2 l 2 , b1 l 1 + b2 l 2 ) = a1b1 ( l 1 , l 2 ) + ( a1b2 + a 2 b1 )( l 1 , l 2 ) + a 2 b2 ( l 1 , l 2 ).

                                                             {        }
   Следовательно, в произвольном базисе l 1 , l 2 невозможно подсчитать скалярное произведение
  векторов по их координатам, если не даны | l 1 |, | l 2 |, ∠ ( l 1 , l 2 ).

  Декартовым называется базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов.
  В таком базисе векторы обозначаются l 1 = i , l 2 = j на плоскости, i , j , k в пространстве. В
  декартовом базисе координаты обозначаются не номером, а буками x , y (в пространстве-
  x , y , z ).
     Для векторов a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x 2 , y 2 , z 2 ) в декартовом базисе
                                           ( a , b ) = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2 ,


                                           | a |=    (a, a) = x12 + y12 + z12 ,

                                                                   ( a, b)              x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
                                               cos ∠(a, b) =                  =                                          .
                                                                 | a |⋅|b |        x12 + y12 + z12 x 22 + y 22 + z 22

Страницы