Векторная алгебра. Машанов В.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

6. Векторное произведение векторов.
В отличие от предыдущего рассмотрим случай, когда результатом умножения двух векторов
будет снова вектор. Для этого потребуется сначала ввести понятие ориентации тройки векторов.
Тройка векторов называется правоориентированной или правой (левой), если их взаимное
расположение совпадает с положением трех первых пальцев правой (левой) руки.
Векторным произведением [a ,b ] векторов a и b называется вектор, удовлетворяющий трем
условиям:
1) [ a ,b ]
⊥
a ,b ;
2) Тройка { a , b , [ a ,b ]} ориентирована как базисные векторы i , j , k ;
3) |[ a ,b ]|=|a ||b |sin ),( ba∠ .
Свойства векторного произведения:
1. Векторное произведение антикоммутативно:
[a ,b ] = -[b , a ].
2. Векторное произведение дистрибутивно:
[a ,b + c ] = [a ,b ]+[ a , c ].
3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения:
[
λ
a ,b ] =
λ
[ a ,b ].
Вычислительная формула
[a ,b ]
222
111
zyx
zyx
kji
=
по координатам перемножаемых векторов a (
1
x ,
1
y ,
1
z ), b (
2
x ,
2
y ,
2
z ) справедлива лишь в
декартовом базисе.
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a (1, -4, 6), b (1, 4, -8).
В силу третьего пункта определения векторного произведения S= |[ a ,b ]|. Найдем
[a ,b ]
841
641
−
−=
kji
=
41
41
81
61
84
64 −
⋅+
−
⋅−
−
−
⋅ kji = 8i +14 j +8 k = (8, 14, 8),
S = |[ a ,b ]| = |(8, 14, 8)| =
222
8148 ++ = 18.
Если даны векторы
a (
1
x ,
1
y ), b (
2
x ,
2
y ) на плоскости, то представив их векторами a (
1
x ,
1
y , 0),
b (
2
x ,
2
y ,0) плоскости XOY, получим 
6. Векторное произведение векторов.
 В отличие от предыдущего рассмотрим случай, когда результатом умножения двух векторов
будет снова вектор. Для этого потребуется сначала ввести понятие ориентации тройки векторов.
Тройка векторов называется правоориентированной или правой (левой), если их взаимное
расположение совпадает с положением трех первых пальцев правой (левой) руки.
Векторным произведением [ a , b ] векторов a и b называется вектор, удовлетворяющий трем
условиям:
    1) [ a , b ] ⊥ a , b ;
    2) Тройка { a , b , [ a , b ]} ориентирована как базисные векторы i , j , k ;
   3) |[ a , b ]|=| a || b |sin ∠(a, b) .

        Свойства векторного произведения:
   1. Векторное произведение антикоммутативно:
                  [ a , b ] = -[ b , a ].

   2. Векторное произведение дистрибутивно:
                               [ a , b + c ] = [ a , b ]+[ a , c ].

   3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения:
                            [ λ a , b ] = λ [ a , b ].

  Вычислительная формула

                                                  i     j      k
                                     [ a , b ] = x1    y1      z1
                                                 x2    y2      z2


   по координатам перемножаемых векторов a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x 2 , y 2 , z 2 ) справедлива лишь в
   декартовом базисе.

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a (1, -4, 6), b (1, 4, -8).
В силу третьего пункта определения векторного произведения S= |[ a , b ]|. Найдем
                        i      j    k
                                    −4 6      1 6      1 −4
            [a ,b ] = 1 − 4 6 = i ⋅      − j⋅      +k⋅      = 8 i +14 j +8 k = (8, 14, 8),
                                    4 −8      1 −8     1 4
                      1 4 −8



                            S = |[ a , b ]| = |(8, 14, 8)| =    8 2 + 14 2 + 8 2 = 18.


Если даны векторы a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ) на плоскости, то представив их векторами a ( x1 , y1 , 0),
b ( x 2 , y 2 ,0) плоскости XOY, получим

Страницы