Векторная алгебра. Машанов В.И - 11 стр.

 ( a ,[ b , c ] ) = ([ a , b ], c )
поэтому этот символ можно убрать. Вычислительная формула
                                      x1 y1 z1
                                    ( a , b , c ) = x2   y2   z2
                                                    x3   y3   z3

справедлива только в декартовом базисе.
Смешанное произведение численно равно объему параллепипеда, построенного на
перемножаемых векторах:
                        ( a , b , c ) = ±V или |( a , b , c )| = V.
( a , b , c ) > 0, если ориентация тройки { a , b , c } совпадает с ориентацией { i , j , k }; ( a , b , c ) < 0,
если ориентации противоположны. Условие ( a , b , c ) = 0 есть условие компланарности векторов.
Пример 1. Доказать, что векторы a (2, -1, 3), b (3, 1, 2), c (2, -7, 6) компланарны и найти линейную
зависимость между ними.
Условие
                               2 −1 3
                    (a ,b ,c ) = 3 1 2 = 0
                                 2 −7 6
выполняется, поэтому векторы линейно зависимы; зависимость будем искать в виде
                     c=λ a + µ b ,
так как
                      2    1 3
                        ≠− ≠ ,
                      3    1 2
векторы a , b линейно независимы и образуют базис множества { a , b , c }. Так как линейная
зависимость означает такую же линейную зависимость координат, то получаем систему

                            2 = 2λ + 3µ ,
                            
                            − 7 = − λ + µ ,
                            6 = 3λ + 2µ .
                            
Решив совместно два уравнения, получаем λ =4, µ =-3. В силу условия ( a , b , c ) =0 третье
условие линейно зависит от первых, значит совместно с ними. Действительно, подставив для
проверки λ и µ в третье, получаем тождество. Итак, c =4 a -3 b . Этот ответ можно было
записать в виде c = (4, -3) в базисе { a , b }.
Пример 2. Доказать, что векторы a (3, -2, 2), b (1, -1, 2), c (2, -1, 1) образуют базис пространства и
найти координаты вектора d (4, -2, 1) в этом базисе.
Так как
                                  3 −2 2
                           (a ,b ,c ) = 1     − 1 2 = −1 ≠ 0 ,
                                        2     −1 1
векторы a , b , c образуют базис пространства. Положив

                           d = x a+ y b+ z c
и подставив координаты, получаем систему на x , y , z с решением x =1, y =-2, z =1. Итак,
                                   d = (1, -2, 1) в базисе { a , b , c }.