Векторная алгебра. Машанов В.И - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1.По вершинам А(2, -1, 3), В(3, -2, 1), С(0, 1, 2) параллелограмма найти четвертую
вершину D.
Возьмем вектор == BAa (-1, 1, 2). Сдвиг точки С на вектор a дает точку D, следовательно D(-1, 2,
4).
Точка
M
прямой, определяемой данными точками )(
''
i
xM и )(
''''
i
xM , и удовлетворяющая
условию
'''''
MMMM
λ
= , называется делящей отрезок
'''
M
M
в отношении
λ
. Формула деления
имеет вид
'
M
=
λ
λ
+
+
1
'''
MM
или
λ
λ
+
+
=
1
'''
ii
i
xx
x .
[
]
'''
MMM ∈ при
[
]
'''
,0 MMM ∉≥
λ
при
λ
< 0, т.е. лежит вне отрезка. При
λ
=1 получаем
координаты середины отрезка:
+
2
'''
ii
xx
C . При
λ
= -1 ∞→
i
x , следовательно при
λ
= -1
получаем бесконечно удаленную точку прямой.
Пример 2. Найти вектор медианы AC треугольника с вершинами )(
''
i
xM , )(
''''
i
xM , )(
''''''
i
xM .
Середина стороны
'''
M
M
есть точка
+
2
'''''
ii
xx
C ;
−
+
'
'''''
2
i
ii
x
xx
MC .
Задачи, связанные с вычислением длин, расстояний, площадей, объемов, углов, называют
метрическими и решают до конца по координатам точек только в декартовой системе координат.
Аффинная система координат с декартовым базисом называется декартовой системой координат
(сокращенно- Д.С.К.).
В такой системе расстояние между точками ),,(
1111
zyxM , ),,(
2222
zyxM вычисляется по формуле
2
12
2
12
2
122121
)()()( zzyyxxMMMM −+−+−== .
Площадь треугольника с вершинами
321
,, MMM
[
]
3121
,
2
1
2
1
MMMMSS
мапар
==
−∆
.
Объем тетраэдра-
),,(
6
1
6
1
313221.
MMMMMMVV
дапартетр
==
−
.
M
M
O
a
'
M
'
M
Рис.6 
                                                  M

                                                              a
                                          M

                                                                          M'

                                                      M'
                             O                                Рис.6


Пример 1.По вершинам А(2, -1, 3), В(3, -2, 1), С(0, 1, 2) параллелограмма найти четвертую
вершину D.
Возьмем вектор a = BA = (-1, 1, 2). Сдвиг точки С на вектор a дает точку D, следовательно D(-1, 2,
4).
Точка M прямой, определяемой данными точками M ' ( xi' ) и M '' ( xi'' ) , и удовлетворяющая
условию M ' M '' = λ MM '' , называется делящей отрезок M ' M '' в отношении λ . Формула деления
имеет вид
                             'M ' + λ M ''
                          M =
                                1+ λ
или
                               xi' + λxi''
                          xi =             .
                                 1+ λ
          [
      M ∈ M ' M ''   ]                        [           ]
                         при λ ≥ 0, M ∉ M ' M '' при λ < 0, т.е. лежит вне отрезка. При λ =1 получаем
                                 x + xi''           '
координаты середины отрезка: C            . При λ = -1 xi → ∞ , следовательно при λ = -1
                                                      i

                                 2 
получаем бесконечно удаленную точку прямой.
Пример 2. Найти вектор медианы AC треугольника с вершинами M ' ( xi' ) , M '' ( xi'' ) , M ''' ( xi''' ) .
                                     xi'' + xi'''        xi'' + xi'''     ' 
                                 '
Середина стороны M M есть точка C  ''
                                                   
                                                    ; MC 
                                                           2            − x i
                                                                                .
                                          2                                  
Задачи, связанные с вычислением длин, расстояний, площадей, объемов, углов, называют
метрическими и решают до конца по координатам точек только в декартовой системе координат.
Аффинная система координат с декартовым базисом называется декартовой системой координат
(сокращенно- Д.С.К.).
В такой системе расстояние между точками M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) вычисляется по формуле
           M 1 M 2 = M 1 M 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 .
Площадь треугольника с вершинами M 1 , M 2 , M 3
                                      1
                                      2
                                                   1
                                S ∆ = S пар − ма = M 1 M 2 , M 1 M 3 .
                                                   2
                                                                      [             ]
Объем тетраэдра-
                                1           1
                        Vтетр. = Vпар − да = ( M 1 M 2 , M 2 M 3 , M 1 M 3 ) .
                                6           6

Страницы