Векторная алгебра. Машанов В.И - 5 стр.

вектор 2 a +3 b . Чтобы вектор 3 a -4 b исходил из точки О, строим его как сумму векторов 3 a и -
4 b (см. рис.2а).

       Пример 2. В треугольнике ABC AB = m , BC = n . Найти вектор AM , совпадающий с
биссектрисой угла A.
        Вектор BC = n - m (см. рис. 2б) разбивается точкой М на части, пропорциональные
сторонам, поэтому BM = x ( n - m ), MC =(1- x )( n - m ), причем x :(1- x )=| m |:| n |. Найдя отсюда x ,
получим вектор BM и вектор

                                                       m | n | +n | m |
                                              AM =          .
                                                 |m|+|n|
         Если требуется найти направление биссектрисы, то можно воспользоваться вектором
m | n |+ n | m |.




                                                                                            B      m | n |+ n | m |

                           3 a -4 b               3a                                    m
                                             2a               2a + 3b                             M
                                         a
                                                                                             n         C
                    -4 b                О         b        3b                       A
                                                                                        Рис. 2б
                                      Рис. 2а



         3.Линейная зависимость векторов. Базис.
     Результат линейных операций над векторами называется их линейной комбинацией.
Например, вектор
                             b = λ1 a1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n
есть линейная комбинация векторов a1 , a 2 ,..., a n ; это выражают словами: вектор b линейно
зависит от a1 , a 2 ,..., a n . Чтобы исключить неравноправие выделенного вектора, введем следующее
определение.
           Векторы a1 , a 2 ,..., a n называются линейно зависимыми, если существуют числа
λ1 , λ 2 ,..., λn , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что
                                       λ1 a1 + λ2 a 2 + ... + λn a n = 0 .
         Очевидно, что нуль-вектор линейно зависим с любой совокупностью векторов:
                                                       0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 1⋅ 0 = 0 .

Теорема 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они параллельны.
Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Теорема 3. Любые четыре вектора в трехмерном евклидовом пространстве линейно зависимы.
Базисом прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.