ВУЗ:
Рубрика:
- 15 - Математическая логика
25и.
∀x (Q(x) →R(x)).
25к.
∃x (Q(x) & R(x))
25л.
∀x (Q(x) → ¬ R(x)).
25м.
∃x (Q(x) & ¬ R(x)).
26.
В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот-
ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например,
∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x))
справедливо, поскольку Q
∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи-
сать как
∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а
это высказывание будет истинным для любого
х , не являющимся дей-
ствительным числом.
27.
Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика
С.Клини, который предлагает следующие решения:
а)
¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно
∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ;
б) ошибкой была бы запись
∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как
D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет
∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) .
28a.
∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)).
28б.
∀x ∃y B(x,y) .
28в.
∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) .
29д.
∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) .
29е.
∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) .
30а. Когда
х определён на предметной области из одного элемента.
30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить).
31.
Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор-
мально, если для предиката
∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить
равносильное преобразования :
¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y)
32.
Само исходное предложение на языке предикатов запишется как:
∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) .
В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания,
т.е.
¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить,
что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования
короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания:
- 15 - Математическая логика
25и. ∀x (Q(x) →R(x)).
25к. ∃x (Q(x) & R(x))
25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)).
25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)).
26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот-
ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например,
∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x))
справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи-
сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а
это высказывание будет истинным для любого х , не являющимся дей-
ствительным числом.
27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика
С.Клини, который предлагает следующие решения:
а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно
∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ;
б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как
D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет
∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) .
28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)).
28б. ∀x ∃y B(x,y) .
28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) .
29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) .
29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) .
30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента.
30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить).
31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор-
мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить
равносильное преобразования :
¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y)
32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как:
∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) .
В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания,
т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить,
что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования
короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания:
