Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

16
Квантор всеобщности. Утверждение «для всех
x
верно А(x)»
символически записывается в виде
)(xAx∀
и обеспечивает проверку
истинности высказывания
)(xA
, зависящего от некоторого параметра x,
одновременно по всем значениям этого параметра (по всему универсуму),
и если найдётся хотя бы одно конкретное значение
c
x
=
, такое, что
F)(
=
cA
, то и все утверждение
F)( =∀ xAx
.
Эта же связка используется при переводе утверждений «А(x) верно
при любом значении x», «для произвольного
x
имеет место А(x)», «како-
во бы ни было
x
, А(x)» и т.п.
Квантор существования. Утверждение «существует такое
x
, что
А(x)» символически записывается в виде
)(xAx∃
и обеспечивает проверку
истинности высказывания
)(xA
, зависящего от некоторого параметра
x
,
хотя бы для одного значения этого параметра, и если найдётся хотя бы
одно конкретное значение
c
x
=
, такое, что
T)( =cA
, то и все утвержде-
ние
T)( =∀ xAx
.
Эта же связка используется при переводе утверждений «А(x) верно
при некоторых x», «А(x) иногда верно», «есть такое
x
, при котором А(x)»,
«можно найти такое
x
, при котором А(x)» и т. п.
Замечание 1.1. Справедлива формула:
)()( xAxxAx ∃=∀
.
Замечание 1.2. Квантор общности (∀) сочетается со связкой «СЛЕ-
ДУЕТ» (⇒), а квантор существования (
∃
) – со связкой «И» (&).
Квантор образования множества
{
}
)(| xAx
(
)(xA
– логическая
формула), который по
)(xA
строит множество всех
x
, обладающих дан-
ным свойством.
Ограничительные кванторы. В математике и в жизни сплошь и ря-
дом приходится заставить переменную пробегать не весь универсум, а
лишь некоторую его часть, определяемую некоторым выражением
)(xC
,
а именно
{
}
)(| xCxX =
, тогда можно ввести ограничительный квантор
вида
Xx
∈
∀
. Например:
Xx
∈
∀
(А(x)).
Сокращение кванторов. Для утверждений типа
(
)
),( yxAyx∃∃
можно
провести сокращение
(
)
),(, yxAyx∃
, т.е. несколько однородных кванторов
соединяются в один.

Страницы