Основы теории систем и системного анализа. Матвеев Ю.Н. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

63
mnmm
n
n
ij
aaa
aaa
aaa
njmiaA
...
...
...
,1,,1,
21
22221
11211
⋅⋅⋅⋅
==== . (2.19)
Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется
матрица
A
, дополненная столбцом свободных членов mib
i
,1, = :
mmnmm
n
n
p
baaa
baaa
baaa
A
...
...
...
21
222221
111211
⋅⋅⋅⋅⋅
= . (2.20)
В линейной алгебре доказывается, что для совместности системы
линейных уравнений (2.18) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
системы
A
был равен рангу её расширенной матрицы
p
A . Этот общий
ранг
r
называется рангом системы и численно равен количеству линейно
независимых уравнений-ограничений ОЗЛП.
Очевидно, что ранг системы не может быть больше числа уравнений m :
m
r
≤
,
и ранг системы не может быть больше общего числа переменных n :
n
r
≤
.
Структура задачи ЛП существенно зависит от ранга системы
ограничений (2.15).
Рассмотрим случай, когда n
r
=
, т.е. nm
=
. В этом случае число
линейно независимых уравнений, входящих в систему (2.15), равно числу
переменных. Система уравнений-ограничений ОЗЛП в этом случае имеет
вид
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
....
..............................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(2.21)
Так как n
r
= , то определитель
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
det
21
22221
11211
⋅⋅⋅⋅
= (2.22)
не равен 0.
Известно, что в этом случае система (2.21) имеет единственное
решение. Но если в этом решении хотя бы одна из переменных
njx
j
,1, =

Страницы