Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

ξ
x
i
x
1
x
2
. . . x
n
p
i
p
1
p
2
. . . p
n
η = g(ξ)
η
y
i
y
1
y
2
. . . y
n
q
i
p
1
p
2
. . . p
n
y
i
= g(x
i
)
η = g(ξ)
x
i1
, x
i2
, . . . x
ik
ξ y
i
= g(ξ
i1
) = g(ξ
i2
) = . . . g(ξ
ik
)
q
i
=
P
{η = y
i
} = p
i1
+ p
i2
+ ··· + p
ik
ξ F
ξ
(x) η = g(ξ)
y = g(x) F
η
(y) = F
ξ
(g
−1
(y))
ξ g(x)
η
f
η
(y) =
f
ξ
(g
−1
(y))
g
0
(g
−1
(y))
.
F
η
(y)
P
{η ∈ B} =
P
{ξ ∈ g
−1
(B)},
g
−1
(B) B ⊂ R g
ξ
M
ξ =
+∞
Z
−∞
xdF
ξ
(x)
F
ξ
ξ
c
M
(c) = c
ξ 6 η
M
ξ 6
M
η
M
|ξ| < ∞ c
M
(cξ) = c
M
ξ
M
|ξ| < ∞
M
|η| < ∞
M
(ξ + η) =
M
ξ +
M
η
|
M
ξ| 6
M
|ξ|
ξ > 0
M
ξ = 0 ξ = 0
P
{ξ = 0} = 1
2.2.6 Ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèé îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
      Ïóñòü ξ  äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì

                                      xi    x1    x2   ...     xn
                                      pi    p1    p2   ...     pn

è η = g(ξ)  âçàèìíîîäíîçíà÷íàÿ áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû η çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

                                       yi   y1    y2   ...     yn
                                       qi   p1    p2   ...     pn

ãäå yi = g(xi ) .
     Åñëè η = g(ξ)  íå âçàèìíîîäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, òî åñòü ñóùåñòâóþò çíà÷åíèÿ
xi1 , xi2 , . . . xik ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , äëÿ êîòîðûõ yi = g(ξi1 ) = g(ξi2 ) = . . . g(ξik ) , òî
qi = P{η = yi } = pi1 + pi2 + · · · + pik .
     Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ èçâåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x) , η = g(ξ)
è ôóíêöèÿ y = g(x) íåïðåðûâíà è ñòðîãî âîçðàñòàåò. Òîãäà Fη (y) = Fξ (g −1 (y)) . Åñëè,
êðîìå òîãî, ξ  àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è g(x) äèôôåðåíöèðóåìà,
òî ìîæíî íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η

                                                  fξ (g −1 (y))
                                       fη (y) =                  .
                                                  g 0 (g −1 (y))

 îáùåì ñëó÷àå óäîáíåå ñíà÷àëà íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fη (y) , èñïîëüçóÿ ñîîòíî-
øåíèå
                                               −1
                             P{η ∈ B} = P{ξ ∈ g (B)},
ãäå g −1 (B)  ïðîîáðàç áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà B ⊂ R ïðè îòîáðàæåíèè g .

2.3 ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
2.3.1 Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèÿ äèñêðåòíîé è íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè-
      ÷èíû. Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.3.1. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ
                                             Z+∞
                                        Mξ =    xdFξ (x)
                                                 −∞


(èíòåãðàë Ñòèëòüåñà ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ).
      Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
1.   Åñëè c  íåêîòîðîå ÷èñëî, òî M(c) = c .
2.   Åñëè ξ 6 η , òî M ξ 6 M η .
3.   Åñëè M |ξ| < ∞ è c  ÷èñëî, òî M(cξ) = c M ξ .
4.   Åñëè M |ξ| < ∞ è M |η| < ∞ , òî M(ξ + η) = M ξ + M η .
5.   | M ξ| 6 M |ξ| .
6.   Åñëè ξ > 0 è M ξ = 0 , òî ξ = 0 ï.í. (òî åñòü P{ξ = 0} = 1 ).


                                                  21

Страницы