Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

ξ X
ξ g : R 7→ R X X
P
x∈X
|g(x)|
P
{ξ = x} < ∞
M
g(ξ) =
X
x∈X
g(x)
P
{ξ = x}.
ξ f
ξ
g : R 7→ R
M
g(ξ) =
+∞
Z
−∞
g(x)f
ξ
(x)dx
ξ
g : R 7→ R
+
M
g(ξ) < ∞
P
{ξ > a} 6
M
g(ξ)
g(a)
, g(a) 6= 0.
k ∈ Z
+
M
ξ
k
k
ξ
M
(ξ −
M
ξ)
k
k ξ k
|ξ| k ξ
ξ
D
ξ
D
ξ =
M
(ξ −
M
ξ)
2
.
√
D
ξ ξ σ
ξ
D
ξ σ
ξ
ξ
M
ξ
0 6
D
ξ =
M
ξ
2
− (
M
ξ)
2
6
M
ξ
2
.
c
D
(cξ) = c
2
D
ξ
D
(ξ) = 0 ξ =
P
{ξ = } = 1
c
D
(ξ + c) =
D
ξ
P
{|ξ −
M
ξ| > ²} 6
D
ξ
²
2
, ∀² > 0.
ν
k
=
M
ξ
k
µ
k
=
M
(ξ −
M
ξ)
k
µ
2
= ν
2
− ν
2
1
, µ
3
= ν
3
− 3ν
1
ν
2
+ 2ν
3
1
, µ
4
= ν
4
− 4ν
1
ν
3
+ 6ν
2
1
ν
2
− 3ν
4
1
.
Òåîðåìà 2.3.1. Ïóñòü ξ  äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå
ìíîæåñòâî çíà÷åíèé
            P       ξ , g : R 7→ R . Åñëè X  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èëè X  ñ÷åòíîå
ìíîæåñòâî è    |g(x)| P{ξ = x} < ∞ , òî
             x∈X
                                             X
                                  M g(ξ) =         g(x) P{ξ = x}.
                                             x∈X



Òåîðåìà 2.3.2. Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ fξ ,
g : R 7→ R . Òîãäà
                                      Z+∞
                             M g(ξ) =    g(x)fξ (x)dx
                                              −∞

â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè îïðåäåëåíà îäíà èç ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà, òî îïðåäåëåíà âòîðàÿ
è îíè ñîâïàäàþò.
Òåîðåìà 2.3.3. (Îáîáùåííîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà.) Ïóñòü ξ  ïðîèçâîëüíàÿ ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà, g : R 7→ R+  ìîíîòîííî íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, M g(ξ) < ∞ . Òîãäà

                                              M g(ξ)
                                P{ξ > a} 6           ,     g(a) 6= 0.
                                               g(a)

2.3.2 Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ñâîéñòâà. Ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âå-
      ëè÷èí. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé.
Îïðåäåëåíèå 2.3.2. Ïóñòü k ∈ Z+ . ×èñëî M ξ k íàçûâàåòñÿ k -ì ìîìåíòîì âåëè÷èíû
ξ . ×èñëî M(ξ − M ξ)k íàçûâàåòñÿ k -ì öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì âåëè÷èíû ξ , k -é ìîìåíò
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû |ξ| íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì k -ì ìîìåíòîì âåëè÷èíû ξ .
    Âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé è îáîçíà÷àåòñÿ D ξ ,
òî åñòü
                                                 2
                                 D ξ = M(ξ − M ξ) .
√
   D ξ íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì âåëè÷èíû ξ è îáîçíà÷àåòñÿ σξ .
    Äèñïåðñèÿ D ξ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σξ õàðàêòåðèçóþò ìåðó ðàññåÿ-
íèÿ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îêîëî åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ .
    Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà äèñïåðñèè.
1. 0 6 D ξ = M ξ 2 − (M ξ)2 6 M ξ 2 .
2. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c D(cξ) = c2 D ξ .
3. D(ξ) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ξ = const ï.í. (òî åñòü P{ξ = const} = 1 ).
4. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c D(ξ + c) = D ξ .
5. Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà
                                                        Dξ
                              P{|ξ − M ξ| > ²} 6           ,   ∀ ² > 0.
                                                        ²2
   Îáîçíà÷èì νk = M ξ k è µk = M(ξ − M ξ)k . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ
ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ôîðìóëû, êîòîðûå ñâÿçûâàþò öåíòðàëüíûå è íà÷àëüíûå
ìîìåíòû

          µ2 = ν2 − ν12 ,   µ3 = ν3 − 3ν1 ν2 + 2ν13 ,    µ4 = ν4 − 4ν1 ν3 + 6ν12 ν2 − 3ν14 .

                                                22

Страницы