Специальные функции. Мицик М.Ф. - 17 стр.

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ИСОиП ДГТУ | Шахты

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1
2
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mn
m
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n
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
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1;1−
, 
, :
( )( ) ( ) ( )
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1
1
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−
dxxPxPmnmn
mn
 (52).

.
 1., 
1).
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12
2
1
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2).
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...,2,1,0
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.

, 
[ ]
1;1−
, 
:
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.11,
0
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∑
∞
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xxPcxf
n
nn
(55)
, 

( ) ( ) ( ) ( )
....,,...,,,
210
xPxPxPxP
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
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, 
n
c
, 
, 
( )
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1
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dxxPxf
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Pf
c
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n
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n
n
∫
∫
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(56)
, 
, .
 3.
( )
xf

[ ]
1;1−

.  (55) 
n
c
,
 (56), 
( )
xf

[ ]
1;1−
, .
                d        2  dPm ( x )          dP ( x )   
                       (
                   1− x            )  Pn (x ) − n Pm ( x )  +
                dx          dx                   dx       
                + (n − m)(n + m + 1)Pn (x )Pm ( x ) = 0 ,
                                                                                   [− 1;1]                      ,
                                                                 ,                  :
                                                      1
                (n − m)(n + m + 1)∫ Pn (x ) Pm (x )dx = 0 ,
                                                      −1
                    (52).

                                                                                                                       .
                  1.                     ,
    1                                                        1

1). ∫ Pn (x ) dx =                                          ∫ P (x) dx = 0 ,
                     2
            2
                          ;                           2).                                       n = 1, 2, ...
                      +
                                                                     2n
    −1
                   2n   1                                    0


                                                                                                                       .

                             ,                                                     [− 1;1] ,
                                 :
                                             ∞
                           f (x ) = ∑ cn Pn (x ) , − 1 < x < 1.                                                                   (55)
                                             n=0
                                                                               ,
                                                           P0 ( x ), P1 ( x ), P2 ( x ) , ... , Pn ( x ) , ....
                 [− 1;1] ,                                                    cn                       ,
                                              ,
                                                  1
                                                      f (x )Pn (x ) dx
                     ( f ; Pn ) −∫1
                cn =           =                                                   .
                     (Pn ; Pn ) 1
                                                      ∫ Pn (x ) dx
                                                                 2                                                                (56)

                                                      −1
                                 ,
                                                                          ,                                                   .
                   3.                                            f (x)                                              [− 1;1]
                                                            .                           (55)                               cn ,
                                                  (56),                                 f (x)
[− 1;1] ,                                                            .

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