Составители:
Рубрика:
41
ции с последующим применением известных методов минимизации:
скорейшего спуска, сопряженных градиентов и т. д. Реже применяют
решение краевой интегродифференциальной задачи определения эк-
стремали функционала.
Рассмотрим теперь кратко выбор параметра регуляризации α. Пусть
необходимо решить уравнение (2.4), причем точное значение функции u
известно, но задана функция u
δ
(x) и оценка погрешности δ такая, что
норма разности
δ>δ<−
δδ
uuu
и
. Предположим, что
()
zx
α
δ
– фун-
кция, реализующая минимальное значение сг лажив ающего функционала
M
α
(z, u
δ
) при зна чении параметра регуляризации α. Если выбрать α слиш-
ком малым, то в выражении для сглаживающего функционала влияние
регуляризирующего слагаемого
[]
zαΩ
будет малым и решение
z
α
δ
ока-
жется “сильно разболтанным” (рис. 2.6, а). Если же выбрать α очень
большим, то, наоборот, решение будет “заглаженным” (рис. 2.6, б).
Чтобы избежать крайностей в выборе α, целесообразно использовать
так называемый принцип невязки. Рассмотрим функцию
()pAzu
α
δδ
α= −
,
которую называют невязкой.
Имеет место следующее утверждение: p(α) при α >0 является мо-
нотонно возрастающей дифференцируемой функцией от α. При этом
lim p(α) < δ, а
22
lim ( ) | |pu
δ
α→∞
α= >δ
. Следовательно, уравнение p(α) = δ
2
имеет единственный корень α(δ). Это значение α и следует выбрать
для регуляризации. Можно показать, что при таком α функция
z
α
δ
реа-
лизует минимум функционала М
α
[z, u] в классе функций, удовлетворя-
ющих уравнению |Az − u| ≤ δ.
Итак, рассматриваемый алгоритм регуляризации ре а лизуют следу-
ющим образом:
– численным методом (например, методом Ньютона) определяют
корень уравнения p(α) = δ
2
− u(δ);
– для известного значения α (δ) путем минимизации сглаживающего
функционала определяют функцию
z
α
δ
, являющуюся устойчивым ре-
шением некорректной задачи.
В Прил. 1 приводится алгоритм восстановления высотных распре-
делений удельной влажности, в Прил. 2 – алгоритм восстановления про-
филя температур.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
