Составители:
Рубрика:
40
для получения устойчивого решения следует минимизировать не
|Az – u|, как это делают при решении корректных задач, а некоторый
другой функционал, называемый сглаживающим:
[] []
,,Mzu Azu z
α
=−+αΩ
(2.6)
где α
> 0 – некоторый парамет р, называемый параметром регуляриза-
ции; Ω [z] – функционал, определяющий требования к величинам z′ и z
на отрезке [a,b]:
22
[] [ ()( ) () ]d
b
a
zpxzqxzx
′
Ω= +
∫
. (2.7)
В (2.7) p(x) и q(x) – функции, определяющие требования к производ-
ной z′ и модулю z для различных значений х; p(x) > 0, q(x) > 0.
А. Н. Тихонов при дост аточно общих условиях показал существова-
ние и единственность минимума функционала (2.6). На рис. 2.6 пред-
ставлен пример модельного восстановления функции y(x) = (1 – x
2
) из
уравнения Фредгольма первого рода
(,)()d ()Kxsys s f x=
∫
при ядре
K(x, s) = 1/{p[1 − (x – s)
2
]}, когда f(x) изве стно с точностью δ = 0,01.
При использовании метода регуляризации возникают два основных
вопроса: как выбрать параметр регуляризации α и как найти z
α
(x) при
заданном значении α?
Начнем со второго вопро са. Задачу нахождения минимума функ-
ционала (2.6) при заданном значении α, как правило, приходится ре-
шать приближенно с использованием конечно-разно стной аппроксима-
а)
б)
Рис. 2.6. Пример модельного восстановления конечно-разно стным методом:
а – без применения регуляризации; б – с применением регуляризации при значениях
α = 10
–1
(1); 10
–6
(2); 10
–8
(3)
0
–10
–21 –20
–14
–15
–20
–47 –51
–18 –57
–17
x
y
1
11
20
19 17 21 22 25
22
99
0
x
y
1
3
2
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
