Составители:
Рубрика:
39
Если вместо функции u
1
(x) известно лишь ее приближение, мало от-
личающееся (в метрике L
2
) от u
1
(x), то можно говорить лишь о нахож-
дении приближенного к z
1
(s) решения уравнения (2.4). Возникает воп-
рос: что надо понимать под приближенным решением с приближенно
известной правой частью? Очевидно, что уравнение (2.4) имеет реше-
ние, понимаемое в классическом смысле, только тогда, когда правые
части будут лежать в множестве AF, где z(s)∈F.
Помимо возможных случаев отсутствия точного решения возника-
ет вопрос об устойчивости этого решения, т. е. при малых отклонениях
правой части решения могут иметь очень большие отклонения. Пока-
жем на примере, что при решении уравнения Фредгольма это имеет
место.
Рассмотрим вместо функции z
1
(s) функцию y (s) = z
1
(s) + cos ωs, где
ω – некоторый произвольный параметр. Подставим эту функцию в вы-
ражение (2.5) и получим
1
1
(,)()d () () (,)cos ( ) d
( ) ( , )sin ( )/ | ( , )sin ( )/ d .
bb
aa
b
b
a
a
Kxsys s f x u x Kxs s s
uxKxss Kxsss
==+ ω =
′
=+ ωω− ωω
∫∫
∫
Из этого выражения видно, что норма разности между правыми ча-
стями уравнения f(x) и u
1
(x) ограничена величиной С/ω, где С – некото-
рая величина, не зависящая от ω.
Отсюда следует, что при увеличении ω эт а норма ст ремится к нулю,
в то время как верхний предел нормы разности y(s) и z
1
(x) от ω не зави-
сит: sup |cos ωx| = 1. Таким образом, при достаточно малых изменениях
правой части уравнения его решения могут значительно различаться
между собой, т. е. задача является неустойчивой.
Существует, однако, так называемый регуляризационный алгоритм
Тихонова, позволяющий найти функцию, которая по мере уменьшения
ошибки при определении правой части уравнения стремится к точному
решению. А. Н. Тихонов показал, что при решении операторного урав-
нения первого рода, частным случаем которого является уравнение
Фредгольма
(,)()d () (), ,
b
a
Kxszs s Azs ux c x d a s b== ≤≤≤≤
∫
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
