Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

54
ðîì ∇ ñëåäóåò ñ îñòîðîæíîñòüþ, òàê êàê ðåçóëüòàò èíîãäà ïðèâî-
äèò ê íåâåðíûì âûâîäàì. Ïîýòîìó ïðè ñîìíåíèè â ïðàâèëüíîñòè
òàêèõ âûâîäîâ èõ íàäî ïðîâåðÿòü íà ïðîñòûõ ÷àñòíûõ âàðèàíòàõ
èëè æå ïðÿìûì ïîêîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, õîòü ýòî
ïîðîé è ãðîìîçäêî.
Ïðèìåð 7. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè âåêòîðíîé àëãåáðû
()()( )∇×∇=∇×∇ =uv uv0
,
îäíàêî ÿñíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòî íåâåðíî.
Ïðèìåð 8. Ôîðìàëüíî
ρρρ ρ
aaa a⋅=⋅∇×=rot ( ) 0
,
òàê êàê â ñìåøàííîì ïðîèçâåäåíèè çäåñü äâà îäèíàêîâûõ âåêòî-
ðà, ò. å. ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñåãäà
ρρ
aa⊥ rot
. Îäíàêî, âûïîëíÿÿ ýòó
îïåðàöèþ ïîêîîðäèíàòíî, íàïðèìåð äëÿ ïîëÿ
ρ
azxy= {, , }
, ëåãêî
óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî íå òàê:
rot { , , }
ρ
a = 111
,
ρρ
aaxyz⋅=++rot
.
Ïðèìåð 9. Îïåðàöèþ
grad()() () ()...
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ab ab ab ab
ab
⋅=∇⋅=∇ ⋅+∇ ⋅=
ïðîâåñòè äàëåå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè âåêòîðíîé àëãåáðû
íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì (âåêòîðû
ρ
a
è
ρ
b
íå âûíîñÿòñÿ çà
ñêîáêè), ïîýòîìó ëîãè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ñèìâîëè÷åñêèì ìå-
òîäîì ýòà çàäà÷à íå èìååò. È õîòÿ ðåçóëüòàò ýòîé îïåðàöèè èçâå-
ñòåí [1], íî îí ñëèøêîì ãðîìîçäêèé è äîñòèãàåòñÿ èñêóññòâåí-
íûì ïðèåìîì, òàê ÷òî äîñòîèíñòâà ñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà â ýòîé
îïåðàöèè íå ïðîÿâëÿþòñÿ.
Çàäà÷è
•  íèæåñëåäóþùèõ çàäà÷àõ èñïîëüçîâàòü, ãäå ýòî óìåñòíî,
ñâîéñòâà îïåðàòîðà ∇.
2.110. Âû÷èñëèòü ðîòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ
ayx=−{,,}
22
0
.
2.111. Âû÷èñëèòü ðîòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ρ
Bk
y
x
=−
ρρ
22
0,,
,
ðîì ∇ ñëåäóåò ñ îñòîðîæíîñòüþ, òàê êàê ðåçóëüòàò èíîãäà ïðèâî-
äèò ê íåâåðíûì âûâîäàì. Ïîýòîìó ïðè ñîìíåíèè â ïðàâèëüíîñòè
òàêèõ âûâîäîâ èõ íàäî ïðîâåðÿòü íà ïðîñòûõ ÷àñòíûõ âàðèàíòàõ
èëè æå ïðÿìûì ïîêîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, õîòü ýòî
ïîðîé è ãðîìîçäêî.
     Ïðèìåð 7. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè âåêòîðíîé àëãåáðû
                       ( ∇u ) × ( ∇v ) = ( ∇ × ∇ )uv = 0 ,
îäíàêî ÿñíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòî íåâåðíî.
    Ïðèìåð 8. Ôîðìàëüíî
                          ρ       ρ ρ          ρ
                          a ⋅ rot a = a ⋅ (∇ × a ) = 0 ,
òàê êàê â ñìåøàííîì ïðîèçâåäåíèè çäåñü äâà îäèíàêîâûõ âåêòî-
                                        ρ     ρ
ðà, ò. å. ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñåãäà a⊥ rot a . Îäíàêî, âûïîëíÿÿ ýòó
                                                          ρ
îïåðàöèþ ïîêîîðäèíàòíî, íàïðèìåð äëÿ ïîëÿ a = {z , x , y} , ëåãêî
óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî íå òàê:
                     ρ             ρ       ρ
                           , , } , a ⋅ rot a = x + y + z .
                 rot a = {111
     Ïðèìåð 9. Îïåðàöèþ
                    ρ ρ          ρ ρ             ρ ρ             ρ ρ
              grad( a ⋅ b ) = ∇( a ⋅ b ) = ∇ a ( a ⋅ b ) + ∇ b ( a ⋅ b ) =...
ïðîâåñòè äàëåå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè âåêòîðíîé àëãåáðû
                                         ρ    ρ
íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì (âåêòîðû a è b íå âûíîñÿòñÿ çà
ñêîáêè), ïîýòîìó ëîãè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ñèìâîëè÷åñêèì ìå-
òîäîì ýòà çàäà÷à íå èìååò. È õîòÿ ðåçóëüòàò ýòîé îïåðàöèè èçâå-
ñòåí [1], íî îí ñëèøêîì ãðîìîçäêèé è äîñòèãàåòñÿ èñêóññòâåí-
íûì ïðèåìîì, òàê ÷òî äîñòîèíñòâà ñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà â ýòîé
îïåðàöèè íå ïðîÿâëÿþòñÿ.

                                      Çàäà÷è
     •  íèæåñëåäóþùèõ çàäà÷àõ èñïîëüçîâàòü, ãäå ýòî óìåñòíî,
ñâîéñòâà îïåðàòîðà ∇.
                                            ρ
     2.110. Âû÷èñëèòü ðîòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ a = {− y 2, x 2,0} .
     2.111. Âû÷èñëèòü ðîòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ
                               ρ
                               B = k − 2 , x2 ,0 ,
                                         y
                                       ρ ρ 

                                           54

Страницы