Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

53
(Çäåñü ó÷òåíà ñìåíà çíàêà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðè èçìå-
íåíèè ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé).
Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîêîîðäèíàòíîå âû÷èñëåíèå îïåðà-
öèé, íàïðèìåð
rot( )ua
ρ
èëè
div( )
ρ
ρ
ab×
, ïðèâîäèò ê òåì æå ðå-
çóëüòàòàì, íî ÿâëÿåòñÿ íåñðàâíåííî áîëåå ãðîìîçäêèì è
òðóäîåìêèì.
Åñëè ê âûðàæåíèÿì (2.14)—(2.16) ïðèìåíèòü îïåðàòîð ∇
ïîâòîðíî, òî ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè âòîðîãî
ïîðÿäêà.
Ïðèìåð 4.
∇⋅∇ = = ∇⋅∇ =∇ =uuuuudiv(grad ) ( )
2
∆
,
ãäå
∆=∇ =
⋅
=++
2
2
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xyz xyz x y z
,, ,,
— äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð âòîðîãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûé
îïåðàòîðîì Ëàïëàñà.
Ïðèìåð 5.
∇⋅ ∇× = = ∇×∇ ⋅ ≡()div(rot)( )
ρρ ρ
aa a0
.
Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òî, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ îäèíà-
êîâûõ âåêòîðîâ (õîòÿ è ôîðìàëüíûõ) ðàâíî íóëþ. Ýòî çàìå÷à-
òåëüíîå òîæäåñòâî ïîëó÷åíî ðàíåå [ôîðìóëà (2.13)] ïðÿìûì ïî-
êîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì.
Ïðèìåð 6.
0)()(gradrot)( ≡∇×∇==∇×∇ uuu
.
Ýòî åùå îäíî çàìå÷àòåëüíîå òîæäåñòâî âåêòîðíîãî àíàëèçà, è
åãî òàê æå ëåãêî ïðîâåðèòü ïîêîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâà-
íèåì, êàê è (2.13).
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå ïðàâèë ðàáîòû ñ îïåðàòî-
ðîì ∇ çíà÷èòåëüíî ñîêðàùàåò îáúåì âû÷èñëåíèé, ïðè÷åì åñëè
ðå÷ü èäåò î âû÷èñëåíèÿõ ãðàäèåíòà, äèâåðãåíöèè èëè ðîòîðà îò
ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ïîëåé, òî ðå-
çóëüòàòû áóäóò âñåãäà ïðàâèëüíûìè. Îäíàêî, âîîáùå ãîâîðÿ,
ïðè èññëåäîâàíèÿõ ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ïîëåé ðàáîòàòü ñ îïåðàòî-
(Çäåñü ó÷òåíà ñìåíà çíàêà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðè èçìå-
íåíèè ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé).
     Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîêîîðäèíàòíîå âû÷èñëåíèå îïåðà-
                     ρ           ρ ρ
öèé, íàïðèìåð rot( ua ) èëè div( a × b ) , ïðèâîäèò ê òåì æå ðå-
çóëüòàòàì, íî ÿâëÿåòñÿ íåñðàâíåííî áîëåå ãðîìîçäêèì è
òðóäîåìêèì.
     Åñëè ê âûðàæåíèÿì (2.14)—(2.16) ïðèìåíèòü îïåðàòîð ∇
ïîâòîðíî, òî ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè âòîðîãî
ïîðÿäêà.
     Ïðèìåð 4.
              ∇ ⋅ ∇u = div(grad u) = ( ∇ ⋅ ∇ )u = ∇ 2 u = ∆u ,
ãäå

        ∆ = ∇2 =  ∂ , ∂ , ∂  ⋅  ∂ , ∂ , ∂  = ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2
                                              2      2    2

                  ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z  ∂x          ∂y ∂z
— äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð âòîðîãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûé
îïåðàòîðîì Ëàïëàñà.
     Ïðèìåð 5.
                    ρ             ρ               ρ
           ∇ ⋅ (∇ × a ) = div(rot a ) = (∇ × ∇) ⋅ a ≡ 0 .
Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òî, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ îäèíà-
êîâûõ âåêòîðîâ (õîòÿ è ôîðìàëüíûõ) ðàâíî íóëþ. Ýòî çàìå÷à-
òåëüíîå òîæäåñòâî ïîëó÷åíî ðàíåå [ôîðìóëà (2.13)] ïðÿìûì ïî-
êîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì.
     Ïðèìåð 6.
             ∇ × (∇u ) = rot (grad u ) = (∇ × ∇ )u ≡ 0 .
Ýòî åùå îäíî çàìå÷àòåëüíîå òîæäåñòâî âåêòîðíîãî àíàëèçà, è
åãî òàê æå ëåãêî ïðîâåðèòü ïîêîîðäèíàòíûì äèôôåðåíöèðîâà-
íèåì, êàê è (2.13).
     Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå ïðàâèë ðàáîòû ñ îïåðàòî-
ðîì ∇ çíà÷èòåëüíî ñîêðàùàåò îáúåì âû÷èñëåíèé, ïðè÷åì åñëè
ðå÷ü èäåò î âû÷èñëåíèÿõ ãðàäèåíòà, äèâåðãåíöèè èëè ðîòîðà îò
ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ïîëåé, òî ðå-
çóëüòàòû áóäóò âñåãäà ïðàâèëüíûìè. Îäíàêî, âîîáùå ãîâîðÿ,
ïðè èññëåäîâàíèÿõ ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ïîëåé ðàáîòàòü ñ îïåðàòî-



                                    53

Страницы