Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

51
Ïðàâèëà ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì
∇∇
∇∇
∇
Îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà «grad», «div» è «rot» óäîáíî
ïðîèçâîäèòü è çàïèñûâàòü â ñîêðàùåííîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ
äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ∇ (íàáëà):
{}
∇=
∂∂ ∂∂ ∂∂
xyz,,
,
êîòîðûé â ðàìêàõ âåêòîðíîé àëãåáðû ðàáîòàåò êàê ôîðìàëüíûé
âåêòîð, õîòÿ ñàì ïî ñåáå îí âåêòîðîì íå ÿâëÿåòñÿ, ò. å. íå èìååò
íè âåëè÷èíû, íè íàïðàâëåíèÿ. Ïðèåìû ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇
íàçûâàþòñÿ ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì ðàñ÷åòîâ.
 ñèìâîëè÷åñêîì ìåòîäå îïåðàòîð ∇ íàäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
1. Îïåðàòîð ∇ íå äåéñòâóåò íà âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñëå-
âà îò íåãî.
2. Äåéñòâèå îïåðàòîðà ∇ íà ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ u (x, y, z)
ýêâèâàëåíòíî îïåðàöèè «grad», ò. å.
∇=
=
=u
xyz
u
u
x
u
y
u
z
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,, ,, grad
. (2.14)
3. Íà âåêòîðíóþ âåëè÷èíó
ρ
a yxz= {,,}
îïåðàòîð ∇ ìî-
æåò äåéñòâîâàòü äâîÿêî — «ñêàëÿðíî» è «âåêòîðíî»;
ñîîòâåòñòâóþùèå äåéñòâèÿ ýêâèâàëåíòíû îïåðàöèÿì
«div» è «rot»:
{}
∇⋅ =
⋅ =++=
ρρ
a
xyz
aaa
a
x
a
y
a
z
a
xyz
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, , , , div
; (2.15)
{}
∇× =
×=
ρρ
a
xyz
aaa a
xyz
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,, ,, rot
, (2.16)
ò. å. â ýòèõ îïåðàöèÿõ îïåðàòîð ∇ ïðîÿâëÿåò êàê äèô-
ôåðåíöèàëüíûå, òàê è âåêòîðíûå ñâîéñòâà.
4. Åñëè îïåðàòîð ∇ äåéñòâóåò íà íåñêîëüêî ñòîÿùèõ ïîñëå
íåãî âåëè÷èí, òî íàäî ó÷èòûâàòü åãî äèôôåðåíöè-
àëüíóþ ïðèðîäó, ò. å. åãî èñïîëüçîâàíèå äîëæíî ïîä-
÷èíÿòüñÿ ïðàâèëàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóììû èëè
ïðîèçâåäåíèÿ ñêàëÿðíûõ èëè âåêòîðíûõ âåëè÷èí. Òàê,
                Ïðàâèëà ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇
    Îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà «grad», «div» è «rot» óäîáíî
ïðîèçâîäèòü è çàïèñûâàòü â ñîêðàùåííîé ôîðìå ñ ïîìîùüþ
äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ∇ (íàáëà):
                         ∇ = {∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z} ,
êîòîðûé â ðàìêàõ âåêòîðíîé àëãåáðû ðàáîòàåò êàê ôîðìàëüíûé
âåêòîð, õîòÿ ñàì ïî ñåáå îí âåêòîðîì íå ÿâëÿåòñÿ, ò. å. íå èìååò
íè âåëè÷èíû, íè íàïðàâëåíèÿ. Ïðèåìû ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇
íàçûâàþòñÿ ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì ðàñ÷åòîâ.
      ñèìâîëè÷åñêîì ìåòîäå îïåðàòîð ∇ íàäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
         1. Îïåðàòîð ∇ íå äåéñòâóåò íà âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñëå-
            âà îò íåãî.
         2. Äåéñòâèå îïåðàòîðà ∇ íà ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ u (x, y, z)
            ýêâèâàëåíòíî îïåðàöèè «grad», ò. å.

             ∇u =  ∂ , ∂ , ∂ u =  ∂u , ∂u , ∂u  = grad u .
                                               
                                                               (2.14)
                   ∂x ∂y ∂z       ∂x ∂y ∂z 
                                           ρ
         3. Íà âåêòîðíóþ âåëè÷èíó a = { y , x , z} îïåðàòîð ∇ ìî-
            æåò äåéñòâîâàòü äâîÿêî — «ñêàëÿðíî» è «âåêòîðíî»;
            ñîîòâåòñòâóþùèå äåéñòâèÿ ýêâèâàëåíòíû îïåðàöèÿì
            «div» è «rot»:
           ρ                                 ∂a ∂a ∂a         ρ
                ∂x ∂ y  ∂z 
                             {         }
       ∇ ⋅ a =  ∂ , ∂ , ∂  ⋅ ax , a y , az = x + y + z = div a ; (2.15)
                            
                                              ∂x  ∂y  ∂z

                   ρ                                      ρ
                        ∂x ∂y ∂z 
                                   
                                           {       }
               ∇ × a =  ∂ , ∂ , ∂  × ax , a y , az = rot a ,    (2.16)

            ò. å. â ýòèõ îïåðàöèÿõ îïåðàòîð ∇ ïðîÿâëÿåò êàê äèô-
            ôåðåíöèàëüíûå, òàê è âåêòîðíûå ñâîéñòâà.
         4. Åñëè îïåðàòîð ∇ äåéñòâóåò íà íåñêîëüêî ñòîÿùèõ ïîñëå
            íåãî âåëè÷èí, òî íàäî ó÷èòûâàòü åãî äèôôåðåíöè-
            àëüíóþ ïðèðîäó, ò. å. åãî èñïîëüçîâàíèå äîëæíî ïîä-
            ÷èíÿòüñÿ ïðàâèëàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóììû èëè
            ïðîèçâåäåíèÿ ñêàëÿðíûõ èëè âåêòîðíûõ âåëè÷èí. Òàê,



                                     51

Страницы