Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

50
è ïëîñêîñòè x+y+z=1. Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó
îòíîñèòåëüíî îñè z .
2.6. Ðîòîð. Ïðàâèëà ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì
∇∇
∇∇
∇
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäàíî âåê-
òîðíîå ïîëå
ρ
axyz(, ,)
ñ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóå-
ìûìè êîìïîíåíòàìè a
x
, a
y
, a
z
. Òîãäà âåêòîð, îáîçíà-
÷àåìûé ñèìâîëîì
rot
ρ
a
è îïðåäåëÿåìûé âûðàæåíèåì
rot
ρ
ρρρ
ρρρ
a
eee
xyz
aaa
a
y
a
z
e
a
z
a
x
e
a
x
a
y
e
xyz
xyz
z
y
x
xz
y
y
x
z
==−
+−
+−
∂∂ ∂∂ ∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,(2.12)
íàçûâàåòñÿ ðîòîðîì âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
â äåêàðòîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Ðîòîð ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ
ρ
a
â äàí-
íîé òî÷êå è âûðàæàåò ñïîñîáíîñòü ïîëÿ ñîâåðøàòü ðàáîòó ïî
ìàëîìó êîíòóðó âáëèçè ýòîé òî÷êè.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè âî âñåé îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
rot
ρ
a ≡ 0
, òî ïîëå íàçûâàåòñÿ áåçâèõðåâûì. Åñëè æå
rot
ρ
a ≠ 0
, òî ïîëå
ρ
a
íàçûâàåòñÿ âèõðåâûì.
Âåêòîð
rot
ρ
a
îáðàçóåò â ïðîñòðàíñòâå íîâîå âåêòîðíîå ïîëå,
ïîðîæäåííîå èñõîäíûì âåêòîðíûì ïîëåì
ρ
a
. Êàê è äëÿ âñÿêîãî
âåêòîðíîãî ïîëÿ, äëÿ ïîëÿ
rot
ρ
a
ìîæíî íàéòè åãî ðîòîð è äè-
âåðãåíöèþ, ò. å. âûïîëíèòü îïåðàöèè
rot(rot )
ρ
a
è
div(rot )
ρ
a
. Òàê,
íàïðèìåð,
div(rot )
ρ
a
x
a
y
a
zy
a
z
a
xz
a
x
a
y
z
y
xz
y
x
=−
+−
+−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0
(ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê âñå ñëàãàåìûå çäåñü ïîïàðíî óíè÷òîæà-
þòñÿ). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
ñïðàâåä-
ëèâî òîæäåñòâî:
div(rot )
ρ
a ≡ 0
. (2.13)
Ýòî îäíî èç çàìå÷àòåëüíûõ òîæäåñòâ âåêòîðíîãî àíàëèçà.
                 è ïëîñêîñòè x + y + z = 1. Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó
                 îòíîñèòåëüíî îñè z .

                2.6. Ðîòîð. Ïðàâèëà ðàáîòû ñ îïåðàòîðîì ∇
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäàíî âåê-
                        ρ
          òîðíîå ïîëå a ( x , y, z ) ñ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóå-
          ìûìè êîìïîíåíòàìè ax, ay, az. Òîãäà âåêòîð, îáîçíà-
                                     ρ
          ÷àåìûé ñèìâîëîì rot a è îïðåäåëÿåìûé âûðàæåíèåì
         ρ        ρ      ρ
         ex       ey     ez
    ρ                           ∂a  ∂a y  ρ  ∂a x ∂a z  ρ  ∂a y ∂a x  ρ
rot a = ∂ ∂ x    ∂ ∂y   ∂ ∂z =  z −        e +    −     e +       −       e ,(2.12)
                                ∂y  ∂ z  x  ∂ z   ∂ x  y  ∂ x   ∂ y  z
         ax       ay     az

           íàçûâàåòñÿ ðîòîðîì âåêòîðíîãî ïîëÿ aρ â äåêàðòîâîé
           ñèñòåìå êîîðäèíàò.                               ρ
     Ðîòîð ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ a â äàí-
íîé òî÷êå è âûðàæàåò ñïîñîáíîñòü ïîëÿ ñîâåðøàòü ðàáîòó ïî
ìàëîìó êîíòóðó âáëèçè ýòîé òî÷êè.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè âî âñåé îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ
            ρ      ρ
            a rot a ≡ 0 , òî ïîëå íàçûâàåòñÿ áåçâèõðåâûì. Åñëè æå
                 ρ               ρ
            rot aρ ≠ 0 , òî ïîëå a íàçûâàåòñÿ âèõðåâûì.
     Âåêòîð rot a îáðàçóåò â ïðîñòðàíñòâå íîâîå
                                              ρ    âåêòîðíîå ïîëå,
ïîðîæäåííîå èñõîäíûì âåêòîðíûì    ρ   ïîëåì  a  . Êàê è äëÿ âñÿêîãî
âåêòîðíîãî ïîëÿ, äëÿ ïîëÿ rot a ìîæíî íàéòè åãî ðîòîð è äè-
                                                ρ           ρ
âåðãåíöèþ, ò. å. âûïîëíèòü îïåðàöèè rot(rot a ) è div(rot a ) . Òàê,
íàïðèìåð,

             ρ
     div(rot a ) =
                   ∂  ∂az − ∂a y  + ∂  ∂ax − ∂az  + ∂  ∂a y − ∂ax  = 0
                                                   
                   ∂x  ∂y  ∂z  ∂y  ∂z      ∂x  ∂z  ∂x      ∂y 

(ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê âñå ñëàãàåìûå çäåñü ïîïàðíî óíè÷òîæà-
                                                   ρ
þòñÿ). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ a ñïðàâåä-
ëèâî òîæäåñòâî:
                                 ρ
                         div(rot a ) ≡ 0.              (2.13)
Ýòî îäíî èç çàìå÷àòåëüíûõ òîæäåñòâ âåêòîðíîãî àíàëèçà.



                                          50

Страницы