Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

49
2.100. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayx=−{, }
ïî êîíòóðó
Ñ, îáðàçîâàííîìó ïåðâîé ÷åòâåðòüþ àñòðîèäû
x
2/3
+y
2/3
=R
2/3
(x ≥ 0, y ≥ 0) è îñÿìè êîîðäèíàò. Îáõîä
êîíòóðà — ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
2.101. Äîêàçàòü, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
u (x, y, z) ðàâíà íóëþ.
2.102. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
axzyz=−{,,}2
ïî êîí-
òóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïëîñêîñòè
x+y+2z=2 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Îáõîä
— â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x →y→z → x.
2.103. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρρ
aze
x
=
2
ïî êîíòóðó,
îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ñôåðû x
2
+y
2
+z
2
= 16 ñ
êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè (x ≥ 0, y ≥0, z ≥ 0). Îá-
õîä — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x →y → z →x.
2.104. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
axzyzxyz=+ −{, ,}22
ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïàðàáîëî-
èäà âðàùåíèÿ x
2
+y
2
= 1 —z ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñ-
êîñòÿìè (x ≥0, y ≥ 0, z ≥ 0). Îáõîä — â íàïðàâëåíèè
÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y →z →x.
2.105. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayz= {,,}
22
0
ïî êîí-
òóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé
x
2
+y
2
= 9 è 3y+4z=5.
2.106. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayxz=−{, ,}
ïî êîíòó-
ðó x
2
+y
2
+z
2
=R
2
, x=z. Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó
îòíîñèòåëüíî îñè z.
2.107. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayxz=−{, ,}
ïî êîíòó-
ðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé
x
2
+y
2
+z
2
=R
2
è x
2
+y
2
=z
2
(z > 0). Îáõîä — ïî ïðàâîìó
âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z.
2.108. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
ayzx= {,,}
222
ïî êîí-
òóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé
x
2
+y
2
+z
2
=R
2
è x
2
+y
2
=Rz (z >0).
2.109. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ
ρ
axyyzxz= {, ,}
ïî êîí-
òóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì öèëèíäðà x
2
+y
2
=1
                                               ρ
2.100. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y,− x} ïî êîíòóðó
       Ñ, îáðàçîâàííîìó ïåðâîé ÷åòâåðòüþ àñòðîèäû
       x2/3 + y2/3 = R2/3 (x ≥ 0, y ≥ 0) è îñÿìè êîîðäèíàò. Îáõîä
       êîíòóðà — ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
2.101. Äîêàçàòü, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
       u (x, y, z) ðàâíà íóëþ.
                                               ρ
2.102. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {2 xz ,− y , z} ïî êîí-
       òóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïëîñêîñòè
       x + y + 2z = 2 ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Îáõîä
       — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x.
                                                 ρ   ρ
2.103. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = z 2ex ïî êîíòóðó,
       îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ñôåðû x2 + y2 + z2 = 16 ñ
       êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Îá-
       õîä — â íàïðàâëåíèè ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x.
                                                 ρ
2.104. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {2 x + z ,2 y − z , xyz}
       ïî êîíòóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïàðàáîëî-
       èäà âðàùåíèÿ x2 + y2 = 1 — z ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñ-
       êîñòÿìè (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Îáõîä — â íàïðàâëåíèè
       ÷åðåäîâàíèÿ îñåé x → y → z → x.
                                                ρ
2.105. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y 2 , z 2 ,0} ïî êîí-
       òóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé
       x2 + y2 = 9 è 3y + 4z = 5.
                                               ρ
2.106. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y,− x, z} ïî êîíòó-
       ðó x2 + y2 + z2 = R2, x = z. Îáõîä — ïî ïðàâîìó âèíòó
       îòíîñèòåëüíî îñè z.
                                               ρ
2.107. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y ,− x, z} ïî êîíòó-
       ðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé
       x2 + y2 + z2 = R2 è x2 + y2 = z2 (z > 0). Îáõîä — ïî ïðàâîìó
       âèíòó îòíîñèòåëüíî îñè z.
                                                ρ
2.108. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = { y 2, z 2, x 2} ïî êîí-
       òóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé
       x2 + y2 + z2 = R2 è x2 + y2 = Rz (z > 0).
                                               ρ
2.109. Âû÷èñëèòü öèðêóëÿöèþ ïîëÿ a = {xy , yz , xz} ïî êîí-
       òóðó, îáðàçîâàííîìó ïåðåñå÷åíèåì öèëèíäðà x2 + y2 = 1


                             49

Страницы