Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

93
4.3.4. Ðîòîð
Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå (4.5). Òîãäà åãî ðîòîð
rot
ρ
ρρρ
a
e
HH
e
HH
e
HH
qqq
aH aH aH
=
1
23
2
13
3
12
113
11 2 2 33
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
 ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:
rot
ρ
ρ
ρ
ρ
a
e
e
e
z
aa a
z
=
ρ
ϕ
ρρ
∂
∂ρ
∂
∂ϕ
∂
∂
ρ
12 3
;
rot
sin sin
sin
ρ
ρ
ρ
ρ
a
e
r
e
r
e
r
r
aarar
r
=
2
123
θθ
∂
∂
∂
∂θ
∂
∂ϕ
θ
θ
ϕ
.
Çàäà÷è
4.12. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ ïîëÿ
ρρρ
aree
r
=+2
2
cos sin
θθ
θ
.
4.13. Âû÷èñëèòü ðîòîð ïîëÿ
ρρρ
arere
r
=+cos sin
θθ
θ
33
.
4.14. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð ïîëÿ
ρρρ
arere
r
=+2
33
cos sin
θθ
θ
.
4.15. Âû÷èñëèòü ðîòîð ïîëÿ
ρρ ρρ
ae ee
z
=− +cos sin
ϕϕρρ
ρϕ
2
.
4.16. Âû÷èñëèòü ðîòîð îñåñèììåòðè÷íîãî ïîëÿ
ρρ ρ
azeze
z
=−
ρρ
ρ
22
.
4.17. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð ïîëÿ
az= {,cos,sin}1
ρρ ϕ ϕ
.
4.18. Êàæäûé èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ
ρρρ
eee
z
ρϕ
,,
öèëèíäðè÷åñ-
êîé ñèñòåìû êîîðäèíàò çàäàåò âåêòîðíîå ïîëå. Âû÷èñ-
ëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð êàæäîãî èç ýòèõ ïîëåé.
                             4.3.4. Ðîòîð
    Ïóñòü çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå (4.5). Òîãäà åãî ðîòîð
                             ρ         ρ        ρ
                             e1       e2        e3
                           H2 H3     H1 H3    H1 H2
                       ρ     ∂         ∂        ∂
                   rot a =
                            ∂q1       ∂q1      ∂q3 .
                           a1 H1     a2 H2    a3 H3


 ÷àñòíîñòè, â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:
             ρ           ρ                ρ          ρ          ρ
             eρ   ρ      ez               er         eθ        eϕ
                  eϕ
              ρ          ρ            r 2 sin θ   r sin θ       r
         ρ ∂       ∂     ∂        ρ       ∂          ∂          ∂
     rot a =                  rot a =
             ∂ρ   ∂ϕ     ∂z ;             ∂r        ∂θ         ∂ϕ .
             a1   a2 ρ   a3               a1        a2r     a3r sin θ




                               Çàäà÷è
                                                ρ         ρ          ρ
      4.12. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ ïîëÿ a = 2 cos θ r 2 er + sin θ eθ .
                                              ρ     ρ         ρ
      4.13. Âû÷èñëèòü ðîòîð ïîëÿ a = cos θ r 3 er + sin θ r 3 eθ .
      4.14. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð ïîëÿ
             ρ              ρ              ρ
            a = 2 cos θ r 3 er + sin θ r 3 eθ .
                                              ρ   ρ       ρ        ρ
     4.15. Âû÷èñëèòü ðîòîð ïîëÿ a = cos ϕ eρ − sin ϕ ρ eϕ + ρ 2ez .
     4.16. Âû÷èñëèòü ðîòîð îñåñèììåòðè÷íîãî ïîëÿ
             ρ       ρ         ρ
            a = ρ 2 zeρ − ρz 2ez .
      4.17. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð ïîëÿ
             ρ
            a = {1 ρ, ρ cos ϕ , z sin ϕ} .
                                                 ρ ρ ρ
      4.18. Êàæäûé èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ eρ , eϕ , ez öèëèíäðè÷åñ-
            êîé ñèñòåìû êîîðäèíàò çàäàåò âåêòîðíîå ïîëå. Âû÷èñ-
            ëèòü äèâåðãåíöèþ è ðîòîð êàæäîãî èç ýòèõ ïîëåé.



                                   93

Страницы