Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

94
4.19. Êàæäûé èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ
ρρρ
eee
r
,,
θϕ
ñôåðè÷åñêîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò çàäàåò âåêòîðíîå ïîëå. Âû÷èñëèòü
äèâåðãåíöèþ è ðîòîð êàæäîãî èç ýòèõ ïîëåé.
4.20. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ ïîëÿ
()
ρ
ar
=∇
cos
θ
2
.
4.21. Íàéòè ôóíêöèþ
fr()
, ïðè êîòîðîé öåíòðàëüíîå ïîëå
ρρ
afre
r
= ()
áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
4.22. Íàéòè ôóíêöèþ
f ()
ρ
, ïðè êîòîðîé ðàäèàëüíî-öè-
ëèíäðè÷åñêîå ïîëå
ρρ
af e= ()
ρ
ρ
áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
4.23. Íàéòè ôóíêöèþ
az
ϕ
ρϕ
(,,)
, ïðè êîòîðîé êîëüöåâîå
öèëèíäðè÷åñêîå ïîëå
ρρ
aae=
ϕϕ
áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
4.24. Íàéòè ôóíêöèþ
fz(,)
ρ
, ïðè êîòîðîé ïðîäîëüíîå
îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî îñè z) ïîëå
ρρ ρ
azefze
z
=+
ρρ
ρ
(,)
áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
4.25. Íàéòè ôóíêöèþ
fz(,)
ρ
, ïðè êîòîðîé ïðîäîëüíîå
îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî îñè z) ïîëå
ρρ ρ
azefze
z
=+
ρρ
ρ
2
(,)
áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
4.3.5. Âû÷èñëåíèå ïîòîêà
Èñïîëüçîâàòü êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
÷åðåç ïîâåðõíîñòü S öåëåñîîáðàçíî,
êîãäà âñÿ ýòà ïîâåðõíîñòü èëè åå ÷àñòè ÿâëÿþòñÿ ó÷àñòêàìè êî-
îðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé äàííîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû. Â ýòîì
ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíûå èíòåãðàëû
ρ
adS⋅
∫∫
ñâîäÿòñÿ ê äâîéíûì
èëè òðîéíûì. Ýëåìåíòû ïëîùàäè dS ðàçëè÷íûõ êîîðäèíàòíûõ
ïîâåðõíîñòåé â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðè-
âåäåíû â êîíöå ðàçäåëà 4.1.
Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ ρρ
ae eze
z
=++
ρϕ
ρϕ
÷åðåç çàì-
êíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ öèëèíäðîì
ρ
=R è ïëîñ-
êîñòÿìè z =0 è z=h.
                                           ρ ρ ρ
      4.19. Êàæäûé èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ er , eθ , eϕ ñôåðè÷åñêîé
            ñèñòåìû êîîðäèíàò çàäàåò âåêòîðíîå ïîëå. Âû÷èñëèòü
            äèâåðãåíöèþ è ðîòîð êàæäîãî èç ýòèõ ïîëåé.
                                          ρ
      4.20. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ ïîëÿ a = ∇(cos θ r 2 ) .
      4.21. Íàéòè ôóíêöèþ f (r ) , ïðè êîòîðîé öåíòðàëüíîå ïîëå
            ρ         ρ
            a = f (r )er áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
      4.22. Íàéòè ôóíêöèþ f ( ρ ) , ïðè êîòîðîé ðàäèàëüíî-öè-
                              ρ          ρ
            ëèíäðè÷åñêîå ïîëå a = f ( ρ )eρ áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
      4.23. Íàéòè ôóíêöèþ aϕ ( ρ, ϕ , z ) , ïðè êîòîðîé êîëüöåâîå
                                ρ          ρ
            öèëèíäðè÷åñêîå ïîëå a = aϕ eϕ áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
      4.24. Íàéòè ôóíêöèþ f ( ρ, z ) , ïðè êîòîðîé ïðîäîëüíîå
            îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî îñè z) ïîëå
            ρ     ρ              ρ
            a = ρzeρ + f ( ρ, z )ez áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.
      4.25. Íàéòè ôóíêöèþ f ( ρ, z ) , ïðè êîòîðîé ïðîäîëüíîå
            îñåñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî îñè z) ïîëå
            ρ        ρ              ρ
            a = ρ 2 zeρ + f ( ρ, z )ez áóäåò ñîëåíîèäàëüíûì.

                   4.3.5. Âû÷èñëåíèå ïîòîêà
     Èñïîëüçîâàòü êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû äëÿ âû÷èñëåíèÿ
                         ρ
ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S öåëåñîîáðàçíî,
êîãäà âñÿ ýòà ïîâåðõíîñòü èëè åå ÷àñòè ÿâëÿþòñÿ ó÷àñòêàìè êî-
îðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé äàííîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû. Â ýòîì
                                     ρ ρ
ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíûå èíòåãðàëû ∫∫ a ⋅ dS ñâîäÿòñÿ ê äâîéíûì
èëè òðîéíûì. Ýëåìåíòû ïëîùàäè dS ðàçëè÷íûõ êîîðäèíàòíûõ
ïîâåðõíîñòåé â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ïðè-
âåäåíû â êîíöå ðàçäåëà 4.1.
                                    ρ    ρ     ρ     ρ
     Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = ρeρ + ϕeϕ + zez ÷åðåç çàì-
êíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ öèëèíäðîì ρ = R è ïëîñ-
êîñòÿìè z = 0 è z = h.



                               94

Страницы