Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 95 стр.

      Ðåøåíèå. ×åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà Sáîê íåíóëå-
                                              ρ
âîé ïîòîê ñîçäàåò òîëüêî ρ-êîìïîíåíòà ïîëÿ a , à ÷åðåç òîðöû
Síèæ è Sâåðõ — òîëüêî z-êîìïîíåíòà, ñëåäîâàòåëüíî,

    ρ   ρ                                                                                           
∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ aρ dS + ∫∫ az dS + ∫∫ az dS =  ∫∫ ρdS                         +  ∫∫ zdS  +  ∫∫ zdS  =
S           S бок       S ниж           S ве р х                Sбок    ρ = R  Sниж  z = 0  Sвер х  z = h


                    = R ∫∫ dS + 0 + h ∫∫ dS = 2πR2 h + πR2h = 3πR2h
                       S бок                   S ве р х
                                                                                            .

     Ïðèìåð 2. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî
                       ρ ρ
âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = rer ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S,
îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé r = R è ïëîñêîñòüþ z = 0.
     Ðåøåíèå. Òàê êàê íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû r = R, òî ïðè íå-
ïîñðåäñòâåííîì âû÷èñëåíèè

                                     ∫∫ rdS = R ∫∫ dS = 2πR3 .
                                    2πR 2                     2πR 2

Ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî,
                        ρ ρ             ρ
                     ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫∫ divadV .
                                      S                         V

               ρ
À òàê êàê div(rer ) = 3 , òî
                        ρ ρ
                     ∫∫ a ⋅ dS = 3∫∫∫ dV = 3V = 2πR3 .
                                S                         V

    Ïðèìåð 3. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî
                     ρ         ρ          ρ
âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = cos θ er + sin θ eθ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïî-
âåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé r = R è ïëîñêî-
ñòüþ θ = π/2.
     Ðåøåíèå.
                                     ρ ρ
     1. Íåïîñðåäñòâåííî. Èíòåãðàë ∫∫ a ⋅ dS ðàçáèâàåòñÿ íà äâà: ïî
ïîëóñôåðå Sñô è ïî «äíó» Säí, ïðè÷åì ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Sñô
ïîòîê ñîçäàåòñÿ òîëüêî êîìïîíåíòîé ar, à ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Säí
— òîëüêî êîìïîíåíòîé aθ:




                                                              95