Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

97
4.29. Äîêàçàòü, ÷òî ïîòîê ïîëÿ
ρρ
aer
r
= /
2
÷åðåç çàìêíóòóþ
ïîâåðõíîñòü S ðàâåí 4
π
, åñëè ïîâåðõíîñòü S îõâàòû-
âàåò íà÷àëî êîîðäèíàò, è ðàâåí íóëþ, åñëè íå îõâà-
òûâàåò.
4.30. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρρ
are re
r
=+
2
θθ
θ
÷åðåç âíå-
øíþþ ñòîðîíó âåðõíåé ïîëóñôåðû r=R.
4.31. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρρ
aeer
r
=+(cos sin )/2
3
θθ
θ
֌-
ðåç âíåøíþþ ñòîðîíó âåðõíåé ïîëóñôåðû r=R.
4.32. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρρ
aee
r
=−cos sin
θθ
θ
÷åðåç çàìê-
íóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëó-
ñôåðîé r=R è ïëîñêîñòüþ
θ=π
/2.
4.33. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ ρ
arer e
r
=+sin
θ
θ
÷åðåç çàìêíóòóþ
ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé
r=R è ïëîñêîñòüþ
θ=π
/2.
4.34. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ ρ
areRr e
r
=+
22
sin cos
θϕ
ϕ
÷åðåç
çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ êîîðäèíàò-
íûìè ïîâåðõíîñòÿìè r=R,
θ=π
/2,
ϕ
= 0,
ϕ=π
/2.
4.35. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëîùàäêà S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñå÷å-
íèå öèëèíäðà
ρ
≤ R, 0 ≤ z ≤ h ïëîñêîñòüþ y=R/2.
Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ
ae=
ρ
ρ
/
÷åðåç ýòó ïëîùàäêó.
4.36. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëîùàäêà S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñå÷å-
íèå öèëèíäðè÷åñêîãî ñëîÿ R
1
≤
ρ
≤ R
2
, 0 ≤ z ≤ h ïîëó-
ïëîñêîñòüþ
ϕ=π
/2. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ
ρρ
ae=
ϕ
ρ
/
÷åðåç ýòó ïëîùàäêó.
4.3.6. Âû÷èñëåíèå ðàáîòû
Èñïîëüçîâàíèå êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ðàáîòû âåêòîðíîãî ïîëÿ
ρ
a
âäîëü êðèâîé L öåëåñîîáðàçíî, êîãäà
âñÿ ýòà êðèâàÿ èëè åå ÷àñòè ÿâëÿþòñÿ ó÷àñòêàìè êîîðäèíàòíûõ
ëèíèé äàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.  ýòîì ñëó÷àå êðèâîëèíåéíûå
                                       ρ ρ
     4.29. Äîêàçàòü, ÷òî ïîòîê ïîëÿ a = er / r 2 ÷åðåç çàìêíóòóþ
           ïîâåðõíîñòü S ðàâåí 4π, åñëè ïîâåðõíîñòü S îõâàòû-
           âàåò íà÷àëî êîîðäèíàò, è ðàâåí íóëþ, åñëè íå îõâà-
           òûâàåò.
                                     ρ         ρ      ρ
     4.30. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r 2θ er + rθ eθ ÷åðåç âíå-
           øíþþ ñòîðîíó âåðõíåé ïîëóñôåðû r = R.
                                    ρ             ρ       ρ
     4.31. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = (2 cos θ er + sin θ eθ ) / r 3 ÷å-
           ðåç âíåøíþþ ñòîðîíó âåðõíåé ïîëóñôåðû r = R.
     4.32. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
                                ρ           ρ        ρ
           ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = cos θ e r − sin θ eθ ÷åðåç çàìê-
           íóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëó-
           ñôåðîé r = R è ïëîñêîñòüþ θ = π/2.
     4.33. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
                               ρ ρ              ρ
           ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = re r +r sin θ eθ ÷åðåç çàìêíóòóþ
           ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé
           r = R è ïëîñêîñòüþ θ = π/2.
     4.34. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
                                  ρ     ρ                  ρ
           ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = r 2e r + R2r sin θ cos ϕ eϕ ÷åðåç
           çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ êîîðäèíàò-
           íûìè ïîâåðõíîñòÿìè r = R, θ = π/2, ϕ = 0, ϕ = π/2.
     4.35. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëîùàäêà S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñå÷å-
           íèå öèëèíäðà ρ ≤ R, 0 ≤ z ≤ h ïëîñêîñòüþ y = R/2.
                                   ρ ρ
           Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = eρ / ρ ÷åðåç ýòó ïëîùàäêó.
     4.36. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëîùàäêà S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñå÷å-
           íèå öèëèíäðè÷åñêîãî ñëîÿ R1 ≤ ρ ≤ R2, 0 ≤ z ≤ h ïîëó-
                                                            ρ ρ
           ïëîñêîñòüþ ϕ = π/2. Âû÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = eϕ / ρ
           ÷åðåç ýòó ïëîùàäêó.

                   4.3.6. Âû÷èñëåíèå ðàáîòû
     Èñïîëüçîâàíèå êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò äëÿ âû÷èñëåíèÿ
                         ρ
ðàáîòû âåêòîðíîãî ïîëÿ a âäîëü êðèâîé L öåëåñîîáðàçíî, êîãäà
âñÿ ýòà êðèâàÿ èëè åå ÷àñòè ÿâëÿþòñÿ ó÷àñòêàìè êîîðäèíàòíûõ
ëèíèé äàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.  ýòîì ñëó÷àå êðèâîëèíåéíûå



                                97

Страницы