Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 96 стр.

                              ρ       ρ
                          ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫ cos θ dSr + ∫∫ sin θ dSθ ,
                          S                S сф                     S дн


ãäå dSr = r 2sinθdθdϕ — ýëåìåíò ïëîùàäè êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíî-
ñòè r = const (ñôåðû), dSθ — ýëåìåíò ïëîùàäè êðóãà (äíà). À òàê
êàê íà ýòîì êðóãå θ = π/2, òî âòîðîé èíòåãðàë ðàâåí ïëîùàäè
«äíà», ò. å. πR2. Ïåðâûé æå èíòåãðàë ïðè r = const = R:

                                     π / 2 2π
                ∫∫ cos θ dSr       =  ∫ ∫ cos θ R2 sin θ dθ dϕ = πR2 .
                             
               Sсф            r = R θ =0 ϕ =0
Òàêèì îáðàçîì, îáùèé ïîòîê ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü
Ô = 2πR 2.
                                               ρ
     2. Ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî. Òàê êàê div a = (4 cos θ ) / r , à
ýëåìåíò îáúåìà øàðà dV = r 2 sin θ dr dθ dϕ , òî

           ρ     ρ                ρ               R π / 2 2π
                                                               cos θ r 2 sin θ dr dθ dϕ = 2πR2
      ∫∫ a ⋅ dS = ∫∫∫ divadV              = 4∫       ∫ ∫         r                             .
       S              V                           0 0     0




                                                  Çàäà÷è
      4.26. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
                                ρ    ρ ρ
            ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = ρ e ρ + zeϕ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïî-
            âåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ öèëèíäðîì ρ = R è ïëîñ-
            êîñòÿìè z = 0 è z = h.
      4.27. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
                                 ρ     ρ        ρ     ρ
            ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = ρ e ρ + ρϕ eϕ − 2zez ÷åðåç çàìê-
            íóòóþ ïîâåðõíîñòü S, îáðàçîâàííóþ öèëèíäðîì ρ = R,
            ïîëóïëîñêîñòÿìè ϕ = 0 è ϕ = π/2 è ïëîñêîñòÿìè z = 0
            è z = h.
      4.28. Íåïîñðåäñòâåííî è ïî òåîðåìå Îñòðîãðàäñêîãî âû-
                                 ρ ρ
            ÷èñëèòü ïîòîê ïîëÿ a = re r ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõ-
            íîñòü S, îáðàçîâàííóþ âåðõíåé ïîëóñôåðîé r = R è
            ïëîñêîñòüþ θ = π/2.




                                                         96