Теория случайных процессов. Михайлова И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Так , например, случайный процесс
{
}
Tt
t
∈
ξ
непрерывен в
Tt =
0
, если
t
tt
ξ
0
lim
→
в определённом смысле
0
t
ξ
, т.е. непрерывен в t
0
п.н ., если
;1)}()(lim:{
0
0
=
=
→
ω
ξ
ω
ξ
ω
tt
tt
P
по вероятности, если
,0}|)()(:|{
0
=>− εωξωξω
tt
P
0
>
;
в среднем порядка r, если
),,( PAL
r
t
Ω∈ ξ
,
Tt
∈
и
0||lim
0
0
=−
→
r
tt
tt
M ξξ
.
Можно показать , что для первых двух типов сходимости нет смысла
строить случайный анализ . Напротив для сходимости в среднем
квадратичном есть смысл строить серёзную теорию , которая получила
название среднеквадратическая теория.
Критерий непрерывности случайного процесса
{
}
Tt
t
∈
ξ
в среднем
квадратическом в точке (на множестве ): случайный процесс
Ttt
PAL
∈
Ω∈ )},,({
2
ξ
непрерывен в точке
Tt
∈
0
( на T) тогда и только тогда,
когда m ( t ) =
t
M
ξ
непрерывна при t = t
0
(на биссектрисе (t, t) для всех
Tt
∈
).
Критерий дифференцируемости случайного процесса
{
}
Tt
t
ξ
∈
в
точке
Tt
0
∈
( на T): случайный процесс
Ttt
PAL
∈
Ω∈ )},,({
2
ξ
дифференцируем в точке
Tt
0
∈
( на T) тогда и только тогда, когда m ( t ) =
=
t
M
ξ
дифференцируема при t = t
0
(на T), а ковариационная функция имеет
вторую смешанную производную в точке (t
0
, t
0
) (на биссектрисе (t, t) для
всех
Tt
∈
) прочём m` (t) = (
t
M
ξ
)`=
)'(
t
M
ξ
, а
)`,`cov(
),(
2
ts
dsdt
tsBd
ξξ=
, для
Tts
∈
,
.
Задачи .
1. Пусть
{
}
]1,0[∈t
t
ξ
- случайный процесс, значения которого
независимого случайные величины . Доказать , что этот случайный процесс
не является стохастически непрерывным (по вероятности) ни в какой
точке.
2. Являются ли пуссановский процесс (V
3
для
0),(~
>
Π
λ
λ
ξ
k
) и
винеровский процесс
а) п.н. непрерывными;
b) стохастически непрерывными;
с) непрерывными в среднем квадратическом ?
3. Будет ли дифференцируем в среднем квадратическом на T
случайный процесс
a)
0
2
)}(sin{
≥
−
+=
t
t
t
te ϕξ
, где
]2,0[~
ϕ
R
; 
                                               11


     Т ак , наприм ер, случ айны й процесс {ξ t }t∈T непреры вен в t 0 = T , если
lim ξ t вопределён н ом см ы сле ξ t0 , т.е. н епреры вен вt0
t →t 0


         п.н ., если      P{ω : lim ξt (ω ) = ξt0 (ω )} = 1;
                                   t →t0

                                                                     ε > 0;
         по вероят н ост и , если P{ω :| ξ t (ω ) − ξ t0 (ω ) |> ε } = 0,
                                              если ξ t ∈ L (Ω, A, P ) , t ∈ T
                                                          r
         в средн ем            порядк а r,                                                         и
lim M | ξ t − ξ t0 | r = 0 .
t →t 0

     М ожно пок азать , ч то для первы х двух типов сходим ости нет см ы сла
строить случ ай ны й анализ. Н апротив для сходим ости в среднем
к вадратич ном есть см ы сл строить серёзную теорию , к оторая получ ила
название среднек вадратич еск ая теория.
     Кри т ери й н епреры вн ост и случай н ого проц есса {ξ t }t∈T в средн ем
к вадрат и ческ ом в т очк е (н а м н ож ест ве): случ ай ны й п роцесс
{ξ t ∈ L2 (Ω, A, P)}t∈T непреры вен вточ к е t0 ∈ T (наT) тогдаи толь к о тогда,
к огда m(t) = Mξ t непреры вна при t = t0 (на б иссек трисе (t, t) для всех
t ∈ T ).
         Кри т ери й ди ф ф ерен ц и руем ост и      случай н ого проц есса {ξt }t∈T в
т очк е t 0 ∈ T (н а T): случ айны й процесс {ξ t ∈ L (Ω, A, P)}t∈T
                                                                                2


диф ф еренцируем в точ к е t0 ∈ T (на T) тогда и толь к о тогда, к огда m(t) =
= Mξ t диф ф еренцируем апри t = t0 (наT), ак овариационная ф унк ция им еет
вторую см еш анную п роизводную в точ к е (t0, t0) (на б иссек трисе (t, t) для
                                                              d 2 B ( s, t )
всех t ∈ T ) проч ём m` (t) = ( Mξ t )`= M (ξ 't ) , а                       = cov(ξ `s , ξ `t ) , для
                                                                 dsdt
s, t ∈ T .
      За да чи.
      1. Пусть {ξ t }t∈[ 0,1] - случ айны й процесс, знач ения к оторого
независим ого случ айны е велич ины . Д ок азать , ч то этотслуч айны й процесс
не является стохастич еск и непреры вны м (п о вероятности) ни в к ак ой
точ к е.
      2. Я вляю тся ли п уссановск ий процесс (V3 для ξ k ~ Π (λ ), λ > 0 ) и
винеровск ий процесс
      а) п.н. непреры вны м и;
      b) стохастич еск и непреры вны м и;
      с) непреры вны м и всреднем к вадратич еск ом ?
      3. Будет ли диф ф еренцируем в среднем к вадратич еск ом на T
случ айны й процесс
      a) ξ t = {e −2t (sin t + ϕ )}t ≥0 , где ϕ ~ R[0,2π ] ;

Страницы