Теория случайных процессов. Михайлова И.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
3. Доказать , что винеровский случайный процесс, выходящиий из
нуля, удовлятворяет следующим условиям :
1) w
0
= 0 п.н.;
2) случайный процесс с независимыми приращениями, т.е.
011
,,
tttt
wwww
nn
−
−
−
K
, независимые случайные величины для любых
0<t
0
< <t
1
<...<t
n
;
3)
),0(~ tNww
t ττ
−
+
для любого τ ≥ 0, t > 0.
4. Доказать эквивалентность приведённых выше двух определений
винеровского случайного процесса.
Рекомендация. Для решения задач 1 и 2 полезно помнить следующий
факт из теории вероятностей .
Если
]),[],1[(~]1[ nnnNn ×=Σ×=×= µξ
r
r
то
),',,( AAANA Σ= µξ
r
r
где A =
[m x n] и rangA ≤ m ≤ n.
5. Найти начальные и центральные моменты приращений
винеровского случайного процесса.
6. Найти ковариационную функцию условного винеровского
процесса
{
}
]1,0[
1
)0(
∈
−=
t
tt
twww
.
7. Пусть
0
)2(
0
)1(
}{,}{
≥≥ tttt
ww
- независимые винеровские процессы .
Доказать , что случайный процесс
0
)2()1(
)}(
2
1
{
≥
+
ttt
ww
также винеровский .
8. Пусть
0
)1(
}{
≥ tt
w
- винеровский процесс . Доказать , что следующие
процессы также винеровские:
a)
>
=
=
;0,
,0,0
}{
/1
)1(
ttw
t
w
t
t
, b)
.0
,0,
/
)2(
>=
≥=
constc
twcw
ctt
,
c)
>=>−
≤≤
=
.0,,2
,0,
}{
)3(
constгдеTTtww
Ttw
w
tT
t
t
§ 4. Элементы случайного анализа
В § 2 мы рассмотрели отображение
→Ω
∈ Ttt
}{ ξ
R
T
. Обсудим теперь
аналитические свойства (непрерывность , дифференцируемость )
отображения
),,(
}{
PALT
Ttt
Ω→
∈
o
ξ
, где
),,( PAL Ω
o
-множество
случайных величин, определённых на <Ω,A,P>. В
),,( PAL Ω
o
существуют
различные типы сходимости: сходимость почти наверное (п.н.),
сходимость по вероятности, сходимость в среднем порядка r для
),,( PAL
r
Ω
, в частном случае для r = 2, сходимость в среднем
квадратическом . В соответствии с этим мы можем рассматривать
различные виды непрерывности и дифференцируемости. 
                                              10

      3. Д ок азать , ч то винеровск ий случ айны й процесс, вы ходящ иий из
нуля, удовлятворяетследую щ им условиям :
                1) w0 = 0 п.н.;
                2) случ ай ны й процесс с независим ы м и приращ ениям и, т.е.
        wt − wt ,K, wt − wt , независим ы е случ айны е велич ины для лю б ы х
          n    n −1       1      0

        0 0.
      4. Д ок азать эк вивалентность приведённы х вы ш е двух определений
винеровск ого случ ай ного процесса.
      Реком ен дац и я. Д ля реш ения задач 1 и 2 полезно пом нить следую щ ий
ф ак тиз теории вероятностей.
               r                r                            r        r
      Е сли ξ = [n × 1] ~ N ( µ = [n × 1], Σ = [n × n]), то Aξ = N ( Aµ , AΣ, A' ), где A =
[m x n] и rangA ≤m ≤ n.
      5. Н айти нач аль ны е              и централь ны е м ом енты приращ ений
винеровск ого случ ай ного процесса.
        6. Н ай ти к овариационную ф унк цию условного винеровск ого
процесса {wt( 0) = wt − tw1 }t∈[ 0,1] .
      7. Пусть {wt(1) }t ≥0 ,{wt( 2 ) }t ≥0 - независим ы е винеровск ие процессы .
                                                    1
Д ок азать , ч то случ айны й процесс{ ( wt + wt )}t ≥0 так же винеровск ий.
                                                        (1) ( 2)

                                                      2
      8. Пусть {wt }t ≥0 - винеровск ий процесс. Д ок азать , ч то следую щ ие
                     (1)


процессы так же винеровск ие:
                                    0, t = 0,                   wt( 2 ) = c wt / c , t ≥ 0,
                    a) t {w (1)
                                } =                  ,      b)                              ,
                                    tw1 / t , t > 0;            c = const > 0.
                                 wt ,0 ≤ t ≤ T ,
                      c) {wt } = 
                           ( 3)

                                 2 wT − wt , t > T , гдеT = const > 0.


                              § 4. Эле м е нты случа й ного а на лиза

      В §2 м ы рассм отрели отоб ражение Ω {ξ}→ RT. О б судим теперь
                                                            t t ∈T


аналитич еск ие      свойства      (непреры вность ,  диф ф еренцируем ость )
                         {ξ t }t∈T
отоб ражения         T  → L ( Ω , A, P ) , где L (Ω, A, P) -м ножество
                                   o                 o


случ айны х велич ин, оп ределённы х на <Ω ,A,P>. В L (Ω, A, P) сущ ествую т
                                                       o


различ ны е типы сходим ости: сходим ость поч ти наверное (п.н.),
сходим ость по вероятности, сходим ость в среднем порядк а r для
 Lr (Ω, A, P) , в ч астном случ ае для r = 2, сходим ость в среднем
к вадратич еск ом . В соответствии с этим м ы м ожем рассм атривать
различ ны е виды непреры вности и диф ф еренцируем ости.

Страницы