Теория случайных процессов. Михайлова И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Теорема Колмогорова. Часть1. Семейство конечномерных
распределений (функций распределения) случайного процесса однозначно
определяет распределение вероятностей на σ-алгебре B (R
T
) борелевских
множеств в R
T
.
Замечание. B(R
T
) – наименьшая σ - алгебра, содержащая
цилиндрические множества в R
T
, где цилиндрическое множество A c
основанием B
1
x B
2
x...xB
n
, соответствующее моментам времени t
1
, ..., t
n
,
определяется как
{
}
nn
T
n
t
BtxBtxRxBBA ∈∈∈=×× )(,,)(:)(
111
KK
r
, для n
∈
N,
n
n
Tttt ∈= ),,(
1
K
r
, B
1
, ..., B
n
∈
B (R
1
).
Часть2. Произвольное семейство конечномерных распределений
{
}
n
TtNn
n
t
RBBP
∈∈
∈
r
r
,
)(),( B
является семейством конечномерных рас-
пределений некоторого случайного процесса тогда и только тогда, когда
данное семейство удовлетворяет условиям симметри и согласованности
( см . §1).
Вероятностное пространство
{}
><
∈ Tt
t
PRR
Т T
ξ
),(,
, где
{}
})(:{)( BPBP
t
Tt
t
∈=
∈
ωξω
ξ
, для B
∈
B (R
T
) принято называть выборочным
вероятностным пространством случайного процесса
{
}
Tt
t
∈
ξ
,
{}
Tt
t
P
∈
ξ
-
распределением вероятностей этого процесса, а случайный процесс
{
}
Tt
T
t
Rxxx
∈
∈= ,)(η
- непосредственно заданным случайным процессом .
Задачи .
1. Являются ли следующие подмножества R
T
борелевскими?
a)
;,sup:)(,
1
RaaxxANT
n
n
nn
∈
≤==
∞
=
b)
;},lim:){(,
1
RaaxxBNT
n
n
nn
∈===
∞→
∞
=
c)
CNT ,
{
:)(
1
∞
= nn
x
предел последовательности существует и конечен };
d)
;,sup:,
0
RaaxRxDRT
t
t
R
∈
≤∈==
≥
+
+
e)
.},)(lim:{,
0
RaatxRxERT
tt
R
∈=∈==
→
2. Определяется ли однозначно конечномерными распределениями
случайного процесса вероятность того, что траектория данного процесса
непрерывна при t=t
0
∈
T ? Почему?
3. Пусть F
1
, F
2
, ... последовательность функций распределения .
Показать , что существует последовательность независимых случайных
величин ξ
1
, ξ
2
, ... таких , что
{
}
RxxPxF
nn
∈<= ,)( ξ
, для всех n = 1, 2, ... .
4. Рассмотрим два числа μ
∈
R, σ>0. Показать что существет
последовательность независимых случайных величин ξ
1
, ξ
2
, ... таких , что ,
2
, σξµξ ==
nn
DM
для всех n = 1, 2, .... 
                                                         8

    Т еорем а Колм огорова. Ч аст ь1. Сем ей ство к онеч ном ерны х
распределений (ф унк ций распределения) случ ай ного процессаоднознач но
определяет распределение вероятностей на σ-алгеб ре B (RT) б орелевск их
м ножестввRT.
    Зам ечан и е. B(RT) – наим ень ш ая σ - алгеб ра, содержащ ая
цилиндрич еск ие м ножества в RT, где ц и л и н др и ческое м н ож ест во A c
основанием B1xB2x...xBn, соответствую щ ее м ом ентам врем ени t1, ..., tn,
определяется к ак Atr ( B1 × K × Bn ) = {x ∈ R T : x(t1 ) ∈ B1 ,K , x(t n ) ∈ Bn } , для n ∈ N,
r
t = (t1 ,K , t n ) ∈ T n , B1, ..., Bn ∈      B (R1).
       Ч аст ь2. Произволь ное сем ейство к онеч ном ерны х распределений
{Ptr ( B), B ∈ B ( R n )}n∈N ,tr∈T является сем ейством к онеч ном ерны х рас-
                              n


пределений нек оторого случ айного процесса тогда и толь к о тогда, к огда
данное сем ейство удовлетворяет условиям сим м етри и согласованности
(см . §1).
      В ероятностное   п ространство     < R T , ( R Т ), P{ξt }t∈T > , где
P{ξt }t∈T ( B) = P{ω : ξ t (ω ) ∈ B} , для B ∈ B(RT) принято назы вать вы борочн ы м

вероят н ост н ы м прост ран ст вом случ айного процесса {ξ t }t∈T , P{ξ t }t∈T -
распределен и ем вероят н ост ей этого процесса, а случ айны й процесс
{                       }
 η t ( x ) = x, x ∈ R T t∈T - н епосредст вен н о задан н ы м случ айны м процессом .
       За да чи.
       1. Я вляю тся ли следую щ ие подм ножестваRT б орелевск им и?
                                 ∞                
           a) T = N , A = ( xn ) n=1 : sup xn ≤ a , a ∈ R;
                                         n        
                                  ∞
           b) T = N , B = {( xn ) n=1 : lim xn = a}, a ∈ R;
                                            n→∞

         c) T = N , C = { ( x )     ∞
                                  n n =1   : п р едел п оследоват ел ь н ост и сущест вует и кон ечен };
                                                   
         d) T = R+ , D =  x ∈ R + : sup xt ≤ a, a ∈ R;
                                 R

                                       t ≥0        
         e) T = R, E = {x ∈ R : lim       x(t ) = a}, a ∈ R.
                               R
                                   t →t        0

     2. О пределяется ли однознач но к онеч ном ерны м и распределениям и
случ айного процесса вероятность того, ч то траек тория данного процесса
непреры внапри t=t0 ∈ T? Поч ем у?
     3. Пусть F1, F2, ... последователь ность ф унк ций распределения.
Пок азать , ч то сущ ествует последователь ность независим ы х случ ай ны х
велич ин ξ 1, ξ 2, ... так их, ч то Fn ( x) = P{ξ n < x}, x ∈ R , для всех n = 1, 2, ... .
     4. Рассм отрим два ч исла μ ∈ R, σ>0. Пок азать ч то сущ ествет
последователь ность независим ы х случ айны х велич ин ξ 1, ξ 2, ... так их, ч то,
Mξ n = µ , Dξ n = σ 2 для всех n = 1, 2, ....

Страницы