Теория случайных процессов. Михайлова И.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
b)
{
}
Rbmbtm
t
t
∈
>
+
+
=
≥
,,0,)(
0
σ
ξσ
ξ
.
8. Пусть A , η и φ – случайные величины , φ не зависит от A и η и
имеет равномерное распределение на [0, 2π]. Рассмотреть случайный
процесс
{
}
Rt
t
tA
∈
+
=
)cos(
ϕ
η
ξ
, где
100
=
≥
=
≥
η
PAP
.
9. Доказать , что заданная функция может быть ковариационной
функцией некоторого случайного процесса.
a)
),min(),( tstsB
=
,
0,
≥
ts
;
b)
∈≥−
−−
=
;,,1||,0
|,|1
),(
Rtsts
ts
tsB
c)
sttstsB
−
=
),min(),(
, s,t
∈
[0,1];
d)
||
),(
ts
etsB
−−
=
, s,t
∈
R ;
e)
∑
=
=
n
k
kkk
tsctsB
1
)()(),( ϕϕ
, где
Rttt
n
∈ ),(,),(
1
ϕϕ K
-
произвольные вещественные функции, c
1
, ..., c
n
– неотрицательные
числа.
§ 2. Выборочное пространство случайного процесса . Теорема
Колмогорова
Мы уже знаем , что случайный процесс
{
}
Tt
t
∈
Ω
∈
ω
ω
ξ
),(
на < Ω , A, P >
может быть определён как функция двух переменных t
∈
T и
Ω
∈
ω
,
причём
t
ξ
при каждом фиксированном t
∈
T является случайной величиной
на <Ω ,A,P>.
С другой стороны , случайный процесс
{
}
Tt
t
∈
Ω
∈
ω
ω
ξ
),(
определяет
отображение множества исходов Ω в множество R
T
= {x: T→ R} всех
вещественных функций , определённых на T, т.е. множество выборочных
функций случайного процесса есть подмножество R
T
.
Такое отображение
→Ω
∈ Ttt
}{ ξ
R
T
индуцирует естественным образом
некоторое распределение вероятностей на R
T
.
Часто при решении практических задач нам известно семейство
конечномерных распределений случайного процесса. В связи с этим
возникает серьёзный вопрос: в какой степени распределение
вероятностей на R
T
, индуцированное процессом , определяется семейством
конечномерных распределений этого процесса? Более того, если на
множестве значений параметра T задано некоторое семейство
конечномерных распределений , то при каких условиях существует
случайный процесс, имеющий семейство конечномерных распределений ,
совпадающее с данным?
Ответ на эти вопросы содержится в знаменитой теореме Колмогорова. 
                                                   7


            b) {ξ t = (ξσ + m)t + b}t ≥0 ,σ > 0, m, b ∈ R .
         8. Пусть A, η и φ – случ айны е велич ины , φ не зависитотA и η и
    им еет равном ерное распределение на [0, 2π]. Рассм отреть случ айны й
    процесс {ξ t = A cos(ηt + ϕ )}t∈R , где P{A ≥ 0} = P{η ≥ 0} = 1 .
         9. Д ок азать , ч то заданная ф унк ция м ожет б ы ть к овариационной
    ф унк цией нек оторого случ айного процесса.
               a) B ( s , t ) = min( s, t ) , s, t ≥ 0 ;
                                       1− | s − t |,
               b) B( s, t ) = 
                                0, | s − t |≥ 1, s, t ∈ R;
               c) B( s, t ) = min( s, t ) − st , s,t∈ [0,1];
               d) B( s, t ) = e −|s −t| , s,t∈ R;
                                   n
               e)    B ( s, t ) = ∑ c k ϕ k ( s )ϕ k (t )   ,   где   ϕ1 (t ),K, ϕ n (t ), t ∈ R   -
                                  k =1

    произволь ны е вещ ественны е ф унк ции, c1, ..., cn – неотрицатель ны е
    ч исла.

        § 2. Вы бор очное п р остр а нств о случа й ного п р оце сса . Т е ор е м а
                                 Колм огор ов а

     М ы уже знаем , ч то случ айны й процесс {ξ t (ω ),ω ∈ Ω}t∈T на < Ω , A, P >
м ожет б ы ть определён к ак ф унк ция двух перем енны х          t∈T и ω ∈Ω ,
прич ём ξ t при к аждом ф ик сированном t ∈ T является случ айной велич иной
на<Ω ,A,P>.
     С другой стороны , случ ай ны й процесс {ξ t (ω ),ω ∈ Ω}t∈T оп ределяет
отоб ражение м ножества исходов Ω в м ножество RT = {x: T→ R} всех
вещ ественны х ф унк ций, оп ределённы х на T, т.е. м ножество вы б ороч ны х
ф унк ций случ айного процессаесть подм ножество RT.
     Т ак ое отоб ражение Ω {ξ}→ RT индуцирует естественны м об разом
                                         t t ∈T


нек оторое распределение вероятностей наRT.
     Часто при реш ении прак тич еск их задач нам известно сем ейство
к онеч ном ерны х распределений случ айного процесса. В связи с этим
возник ает      серь ёзны й вопрос: в к ак ой степени распределение
вероятностей наRT, индуцированное процессом , определяется сем ейством
к онеч ном ерны х расп ределений этого процесса? Более того, если на
м ножестве знач ений парам етра T задано нек оторое сем ейство
к онеч ном ерны х распределений, то при к ак их условиях сущ ествует
случ айны й процесс, им ею щ ий сем ей ство к онеч ном ерны х распределений,
совпадаю щ ее сданны м ?
     О тветнаэти вопросы содержится в знам енитой теорем е К олм огорова.

Страницы