Теория случайных процессов. Михайлова И.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
3.
∈=
=
==
∑
=
;,
,0,0
)(
1
NnnM
n
MSnm
n
k
k
n
λξ
;,)(
0
1
NnnDDSnD
n
k
kn
∈===
∑
=
λξ
>
=
<
=
>−−−+++−
=
<−−++−−−
=
=
>−−−+++−
=
<−−+++−−
=
=
=
≠−−
=−−=
+
+
+
+
,,
,,
,,
),())(()(
,,
,),)(()()(
),)()((
,,
,),)()((
,
,),)((
))((),(
1
2
1
2
1
1
mnDS
mnn
mnDS
mnmSMmnMmSM
mnn
mnnmMnSMnSM
mnmSmnmSM
mnn
mnnmnSnSM
nmDS
nmmSnSM
mSnSMmnB
m
n
mnmm
mnnn
mnmm
mnnn
n
mn
mn
λ
λλξξλ
λ
λξξλλ
λλξξλ
λ
λξξλλ
λλ
λλ
K
K
K
K
т . е B(n,m) = λmin(n,m), m,n
∈
N
0
.
2. Пусть G – случайный опыт, который может закончится одним
из двух возможных исходов ω=1 или ω =2. Считая исходы
равновероятными рассмотреть случайный процесс
{
}
{
}
]1,0[
2,1,)(
∈
=
Ω
∈
⋅
=
t
t
t
ω
ω
ω
, наблюдаемый в данном опыте G.
3. Случайный опыт G – выбор наудачу точки из отрезка [0,1]
(геометрическая схема). Рассмотреть случайный процесс
{}
{
}
]1,0[
:
]1,0[),()(
∈
>
=
Ω
∈
Ι
=
t
tt
ω
ω
ω
ωω
, наблюдаемый в данном опыте G.
4. Пусть η – случайная величина, функция распределния которой
F(x), x
∈
R . Рассмотреть случайный процесс
{
}
Rt
t
t
∈
+
=
η
, считая что D η
существует.
5. Пусть η , ζ – независимые N(0,1/2) случайные величины .
Рассмотреть случайный процесс
+
∈
+=
Rt
t
t
)(
1
ζηξ
.
6. Пусть η , ζ – случайные величины , которые имеют вторые
моменты , причем η – имеет симметричное относительно нуля
распределение и P { η=0} = 0. Рассмотреть случайный процесс
{
}
0
)(
≥
+
+
=
t
t
tt
η
ζ
. Найти также вероятность того, что реализации
случайного процесса возрастают.
7. Пусть ξ – случайная величина, имеющая стандартное
нормальное распределение. Рассмотреть случайный процесс
a)
{
}
0≥
+
=
t
t
bt
и b
∈
R ; 
                                                  6

                       0, n = 0,
                       
     3. m( n) = MS n =  n
                       ∑ Mξ k = nλ , n ∈ N ;
                        k =1
                     n
     D (n) = DS n = ∑ Dξ k = nλ , n ∈ N 0 ;
                    k =1

                                              M ( S n − nλ )( S m − mλ ), m ≠ n,
     B ( n, m) = M ( S n − nλ )( S m − mλ ) =                                    =
                                               DS n , m = n
        M ( S n − nλ )( S n − nλ + ξ n+1 + K + ξ m − ( m − n)λ ), n < m,
       
     = nλ , n = m,                                                        =
        M ( S − mλ + ξ + K + ξ − ( n − m)λ )( S − mλ ), n > m
              m             m +1        n                m

        M ( S n − nλ ) 2 − M ( S n − nλ ) M (ξ n+1 + K + ξ m − ( m − n)λ ), n < m,    DS n , n < m,
                                                                                     
     = nλ , n = m,                                                                 =  nλ , n = m,
        M ( S − mλ ) 2 + M (ξ + K + ξ − (n − m)λ ) M ( S − mλ ), n > m  DS , n > m,
              m                   m +1        n                    m                  m

     т.е B(n,m) = λmin(n,m), m,n ∈ N0.

          2. Пусть G – случ айны й опы т, к оторы й м ожет зак онч ится одним
из двух возм ожны х исходов ω=1 или ω=2. Сч итая исходы
равновероятны м и                 рассм отреть              случ айны й       п роцесс
{ξ t (ω ) = ω ⋅ t , ω ∈ Ω = {1,2}}t∈[0,1] , наб лю даем ы й вданном опы те G.
           3. Случ айны й опы т G – вы б ор наудач у точ к и из отрезк а [0,1]
(геом етрич еск ая              схем а).        Рассм отреть          случ айны й   процесс
{                                      }
 ξ t (ω ) = Ι {ω:ω >t } (ω ), ω ∈ Ω = [0,1] t∈[ 0,1] , наб лю даем ы й вданном опы те G.
         4. Пусть η – случ айная велич ина, ф унк ция распределния к оторой
F(x), x ∈ R. Рассм отреть случ айны й процесс{ξ t = η + t}t∈R , сч итая ч то Dη
сущ ествует.
         5. Пусть η, ζ – независим ы е N(0,1/2) случ ай ны е велич ины .
                                                     1       
Рассм отреть случ айны й процесс ξ t = (η + ζ )                   .
                                                     t       t∈R+
         6. Пусть η, ζ – случ айны е велич ины , к оторы е им ею т вторы е
м ом енты , п рич ем η – им еет сим м етрич ное относитель но нуля
распределение и P{η=0} = 0. Рассм отреть случ айны й п роцесс
{ξ t = ζ + t (η + t )}t ≥0 . Н айти так же вероятность того, ч то реализации
случ айного процессавозрастаю т.
         7. Пусть ξ – случ ай ная велич ина, им ею щ ая стандартное
норм аль ное распределение. Рассм отреть случ айны й процесс
               a) {ξ t = ξt + b}t ≥0 и b∈ R;

Страницы