Теория случайных процессов. Михайлова И.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
),,()(lim
11,,
11
−
∞→
−
=
ntt
t
x
xxFxF
n
n
K
r
K
r
для любых
Nn
∈
,
n
n
Ttttt ∈= ),,,(
21
K
r
Упражнение. Сформулируйте условия a), b) для семейства P .
Математическое ожидание случайного процесса
{
}
Tt
t
∈
ξ
: пусть
значения случайного процесса суть интегрируемые случайные величины ,
т.е. ),,(
1
PAL
t
Ω∈ ξ для любого
Tt
∈
, тогда можно определить на T
функцию m ( t ) = M(ξ
t
),
Tt
∈
.
Ковариационная функция случайного процесса: пусть значения
случайного процесса интегрируемы с квадратом , т.е. ),,(
2
PAL
t
Ω∈ ξ для
любого t
T , тогда на
T
T
×
можно ввести указанную функцию
B ( s,t) = cov(ξ
s
, ξ
t
) = M((ξ
s
– m(s))( ξ
t
– m(t))),
TTts
×
∈
),(
.
Свойства ковариационной функции:
1. B(s, t) = B(t, s),
TTts
×
∈
),(
;
2. B(s, s) = D(ξ
s
), s
∈
T ;
3. B(s,t) = M(ξ
s
ξ
t
) – m(s)m(t),
TTts
×
∈
),(
;
4.
.),(,),(),(),( TTtsttBssBtsB ×∈≤
5. Ковариационная функция является неотрицательно
определённой функцией на
T
T
×
.
6.
{
}
Tt
t
∈
ξ
и
{
}
Tt
t
∈
η
- случайные процессы , определённые на
< Ω , A, P > и
Ttty
tt
∈+= ),(ξη
, где y : T → R
1
, тогда
),(),( tsBtsB
ηξ
=
для s,t
∈
T .
Примеры случайных процессов :
1) Простой процесс восстановления
V
1
)
{
}
∞
= 1n
n
ξ
- последовательность независимых неотрицательных
одинаково распределённых случайных величин;
V
2
)
∞
=
=
=
∑
1
1
n
n
k
kn
S ξ
, где
{
}
∞
= 1k
k
ξ
из V
1
и S
0
= 0;
V
3
)
{
}
{
}
0
:max
≥
<
=
t
nt
tSn
ν
, где
{
}
∞
= 1n
n
S
из V
1
и
{}{}
I
∞
=
<=∞=
0 n
nt
tSν
.
Модели V
1
, V
2
, V
3
часто используются для описания работы различных
физических устройств, содержащих сменяемые идентичные элементы : ξ
j
–
время «жизни» j-го элемента, который в момент выхода из строя
мгновенно заменяется следующим или ремонтируется и т. д. В такой 
                                                        4

                 r
       lim Ftr ( x ) = Ft1 ,K,tn −1 ( x1 ,K, x n −1 )       для   лю б ы х           n∈ N       ,
       xn →∞
r
t = (t1 , t 2 ,K, t n ) ∈ T n
      У п р аж н ен и е. Сф орм улируйте условия a), b) для сем ействаP.

     М ат ем ат и ческ ое ож и дан и е случай н ого проц есса {ξ t }t∈T : п усть
знач ения случ ай ного процесса суть интегрируем ы е случ ай ны е велич ины ,
т.е. ξ t ∈ L1 (Ω, A, P) для лю б ого t ∈ T , тогда м ожно определить на T
ф унк цию m(t) = M(ξt), t ∈ T .
     Ковари ац и он н ая ф ун к ц и я случай н ого проц есса: п усть знач ения
случ айного процесса интегрируем ы с к вадратом , т.е. ξ t ∈ L2 (Ω, A, P ) для
лю б ого t ∈ T, тогдана T × T м ожно ввести ук азанную ф унк цию
     B(s,t) = cov(ξs, ξt) = M((ξs – m(s))( ξt – m(t))), ( s , t ) ∈ T × T .

      Свойст ва ковар и ац и он н ой фун кц и и :
             1.    B(s, t) = B(t, s), ( s , t ) ∈ T × T ;
             2.    B(s, s) = D(ξs), s ∈ T;
             3.    B(s,t) = M(ξsξt) – m(s)m(t), ( s , t ) ∈ T × T ;
                 4.        B ( s , t ) ≤ B ( s , s ) B (t , t ) , ( s , t ) ∈ T × T .
                 5.       К овариационная ф унк ция является неотрицатель но
           определённой ф унк цией на T × T .
                 6.       {ξt }t∈T и {ηt }t∈T - случ айны е процессы , определённы е на
           < Ω , A, P > и η t = ξ t + y (t ), t ∈ T , где y: T → R1, тогда
           Bξ ( s, t ) = Bη ( s, t ) для s,t ∈ T.

                                          П р им е р ы случа й ны х п р оце ссов :

      1) П рост ой проц есс восст ан овлен и я
          V1) {ξ n }n=1 - последователь ность независим ы х неотрицатель ны х
                         ∞


      одинак ово распределённы х случ ай ны х велич ин;
                                    ∞
                         n
                              
               V2)  n ∑ ξ k  , где {ξ k }k =1 из V1 и S0 = 0;
                       =                   ∞
                     S
                        k =1 n=1
                                                                                      ∞
               V3) {ν t = max{n : S n < t}}t ≥0 , где {S n }n=1 из V1 и {ν t = ∞} = I {S n < t} .
                                                              ∞

                                                                                     n =0
     М одели V1,V2,V3 ч асто исполь зую тся для описания раб оты различ ны х
ф изич еск их устройств, содержащ их см еняем ы е идентич ны е элем енты : ξj –
врем я « жизни» j-го элем ента, к оторы й в м ом ент вы хода из строя
м гновенно зам еняется следую щ им или рем онтируется и т.д. В так ой

Страницы