ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
§ 1. Случайные процессы : определения, примеры, основные
характеристики
Случайная функция аргумента t
∈
T, определённая на <Ω,A,P>:
однопараметрическое семейство случайных величин
(
)
{
}
Tt
t
∈
Ω∈ωωξ ,
,
определённых на одном и том же вероятностном пространстве <Ω ,A,P>.
Т – множество возможных значений параметра t .
Случайный процесс, определённый на <Ω ,A,P> или , всё равно, что ,
наблюдаемый в опыте G ~ <Ω ,A,P> : Т – подмножество действительных
чисел; в этом случае параметр t можно интерпретировать как время.
Если T ={t
0
} – одноточечное множество , то
0
t
ξ
- случайная величина,
наблюдаемая в опыте G; если T = {t
1
, ..., t
n
} и n = 2, 3, ... , то
{
}
n
t
t
1=
ξ
-
случайный вектор, наблюдаемый в опыте G; если T = N ={1, 2, ...}, то
{
}
∞
= 1t
t
ξ
- случайная последовательность , наблюдаемая в опыте G.
Заметим , что случайный процесс
(
)
{
}
Tt
t
∈
Ω
∈
ω
ω
ξ
,
есть функция двух
переменных t
∈
T ,
Ω
∈
ω
. Если t
∈
T – фиксировано, то
)(
⋅
t
ξ
- случайная
величина, определённая на < Ω , A, P >, называемая значением (сечением )
случайного процесса в момент времени t
∈
T . Если же
Ω
∈
ω
-
фиксировано, то
)()(
⋅
=
•
x
ω
ξ
- числовая функция аргумента t
∈
T , которая
называется траекторией (выборочной функцией , реализацией )
случайного процесса.
Семейство конечномерных распределений случайного процесса
{
}
Tt
t
∈
ξ
: P =
{
}
(
)
{
}
{
}
NnTt
n
tt
n
RBBPBP
∈∈
∈∈=
,
)?(,:
r
rr
ωξω
.
Семейтсво конечномерных функций распределения случайного
процесса
{
}
Tt
t
∈
ξ
: F =
(
)
{
}
{
}
NnTt
n
tt
n
RxxPxF
∈∈
∈<=
,
,:)(
r
rr
r
r
r
ωξω
Заметим , что многие существенные свойства случайного процесса
определяются свойствами семейства конечномерных распределений . В
частности, исходя из этих свойств, будут в дальнейшем определены
основные классы случайных процессов.
Очевидно, что семейства P и F должны удовлетворять условиям
симметрии и согласованности:
a) Условие симметрии для F:
)()( xFxF
tt
r
r
rr
π
π
=
для любого
Nn
∈
,
любого
n
n
Ttttt ∈= ),,(
21
K
r
и любой перестановки
),,(
21 n
kkk
tttt K
r
=π
координат вектора
),(
1 n
ttt K
r
=
;
b) Условие согласованности для F:
3
§ 1. С луча й ны е п р оце ссы : оп р е де ле ния, п р им е р ы , основ ны е
х а р а кте р истики
С лучай н ая ф ун к ц и я аргум ента t ∈ T, определённая на <Ω ,A,P>:
однопарам етрич еск ое сем ейство случ айны х велич ин {ξ t (ω ), ω ∈ Ω}t∈T ,
определённы х на одном и том же вероятностном п ространстве <Ω ,A,P>.
Т – м ножество возм ожны х знач ений парам етраt.
С лучай н ы й проц есс, определённы й на <Ω ,A,P> или, всё равно, ч то,
наб лю даем ы й в опы те G ~ <Ω ,A,P> : Т – подм ножество действитель ны х
ч исел; вэтом случ ае парам етрt м ожно интерпретировать к ак врем я.
Е сли T={t0} – одноточ еч ное м ножество, то ξ t - случ ай ная велич ина,
0
наб лю даем ая в опы те G; если T = {t1, ..., tn} и n = 2, 3, ... , то {ξ t }t =1 -
n
случ айны й век тор, наб лю даем ы й вопы те G; если T=N={1, 2, ...}, то {ξ t }t =1
∞
- случ айная последователь ность , наб лю даем ая вопы те G.
Зам етим , ч то случ айны й п роцесс {ξ t (ω ), ω ∈ Ω}t∈T есть ф унк ция двух
перем енны х t ∈ T, ω ∈ Ω . Е сли t ∈ T – ф ик сировано, то ξ t (⋅) - случ ай ная
велич ина, определённая на< Ω , A, P >, назы ваем ая зн ачен и ем (сечен и ем )
случай н ого проц есса в м ом ент врем ени t ∈ T. Е сли же ω ∈ Ω -
ф ик сировано, то ξ • (ω ) = x (⋅) - ч исловая ф унк ция аргум ента t ∈ T, к оторая
назы вается т раек т ори ей (вы борочн ой ф ун к ц и ей , реали зац и ей )
случ айного процесса.
С ем ей ст во к он ечн ом ерн ы х распределен и й случ айного процесса
{ξt }t∈T : P = {Ptr {B} = P{ω : ξtr (ω ) ∈ B}, B ∈ ?(R )}tr∈T
n
. n
,n∈N
С ем ей т сво к он ечн ом ерн ы х ф ун к ц и й распределен и я случ айного
{ r
{ ( ) r r
}
процесса {ξ t }t∈T : F = Ftr ( x ) = P ω : ξ tr ω < x , x ∈ R tr∈T n ,n∈N
n
}
Зам етим , ч то м ногие сущ ественны е свой ства случ айного п роцесса
определяю тся свойствам и сем ейства к онеч ном ерны х распределений. В
ч астности, исходя из этих свойств, б удут в даль нейш ем определены
основны е к лассы случ айны х процессов.
О ч евидно, ч то сем ейства P и F должны удовлетворять условиям
сим м етрии и согласованности:
r r
a) У словие сим м етрии для F: Ftr ( x ) = Fπtr (πx ) для лю б ого n ∈ N ,
r r
лю б ого t = (t1 , t 2 ,K t n ) ∈ T и лю б ой перестановк и πt = (t k1 , t k2 ,Kt kn )
n
r
к оординатвек тора t = (t1 ,Kt n ) ;
b) У словие согласованности для F:
