Теория случайных процессов. Михайлова И.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
интерпретации V
1
– последовательность времён жизни идентичных
элементов; V
2
– последовательность моментов замен или
«восстановлений»; V
3
– число восстановлений в промежутке [0;t).
Физические приложения и аналогии подсказывают другую наглядную
схему: в моменты времени n = 1,2, ... частица перемещается вдоль
числовой прямой на величину ξ
1
, ξ
2
, ... (здесь ξ
j
уже произвольные
независимые одинаково распределённые случайные величины ), тогда
{
}
∞
= 0n
n
S
принято называть случайным блужданием , а S
n
– координата в
момент n частицы , совершающей случайное блуждание.
2) Гармонические колебания
(
)
1
}cos{
Rt
t
tA
∈
+= ϕηξ
,
где A ( амплитуда) – неотрицательная случайная величина,
η(круговая частота) – неотрицательная случайная величина,
φ(начальная фаза) – равномерно распределённая на [0, 2π]
случайная величина.
φ и (A,η), как правило , считают независимыми.
Далее предлагаются задачи (для первой приведено решение), в
которых необходимо:
1. Описать множество траекторий ;
2. Найти семейство одномерных, двумерных и т.д.
функций распределния ;
3. Найти математическое ожидание, дисперсию и
ковариационную функцию заданного случайного процесса.
Задачи .
1. Процесс V
1
, V
2
, V
3
в предположении, что
0),(~
>
Π
λ
λ
ξ
n
.
Решение . Ответим на вопросы 1-3 для процесса V
2
.
1.
{
}
{
}
Nnxxx
nn
n
n
∈≤≤
+
∞
=
,0:
1
1
- множество числовых неубывающих
последовательностей с неотрицательныи элементами;
2. F
1
{
}
{
}
:`,)(
1
∞
=
∈<==
n
n
RxxSPxF
{}
.),(
)!1(
)(
!1
11
)()(
)!1(
)(
1
),0(
1
),0(
1
1
Rxx
n
xx
e
duueu
n
xPxSPxF
n
x
x
un
n
k
knn
∈Ι
−
+++−=
=Ι
−
=
<=<=
+∞
−
−
+∞
∞−
−−
=
∫
∑
λλ
λ
λ
ξ
λ
λ
K
                                                       5

интерп ретации V1 – последователь ность врем ён жизни идентич ны х
элем ентов;     V2    –    последователь ность    м ом ентов зам ен или
« восстановлений »; V3 – ч исло восстановлений впром ежутк е [0;t).
     Ф изич еск ие приложения и аналогии п одск азы ваю тдругую наглядную
схем у: в м ом енты врем ени n = 1,2, ... ч астица перем ещ ается вдоль
ч исловой прям ой на велич ину ξ 1, ξ 2, ... (здесь ξ j уже произволь ны е
независим ы е одинак ово распределённы е случ ай ны е велич ины ), тогда
{Sn }∞n=0принято назы вать случай н ы м блуж дан и ем , а Sn – к оордината в
м ом ентn ч астицы , соверш аю щ ей случ айное б луждание.

     2) Га р м ониче ские коле ба ния
     {ξ t = A cos(ηt + ϕ )}t∈R ,  1


     где A(ам плитуда) – неотрицатель ная случ айная велич ина,
          η(к руговая ч астота) – неотрицатель ная случ айная велич ина,
          φ(нач аль ная ф аза) – равном ерно расп ределённая на [0, 2π]
случ айная велич ина.
     φ и (A,η), к ак п равило, сч итаю тнезависим ы м и.
     Д алее предлагаю тся задач и (для первой приведено реш ение), в
к оторы х необ ходим о:
             1.      О п исать м ножество траек торий ;
             2.      Н ай ти сем ейство одном ерны х, двум ерны х и т.д.
       ф унк ций распределния;
             3.      Н ай ти м атем атич еск ое ожидание, дисперсию      и
       к овариационную ф унк цию заданного случ айного процесса.

    За да чи.
              1.        Процесс V1, V2, V3 в предположении, ч то
        ξ n ~ Π (λ ), λ > 0 .
         Ре ш е ние . О тветим навопросы 1-3 для п роцессаV2.
            1. {{xn }∞n =1 : 0 ≤ xn ≤ xn +1 , n ∈ N } - м ножество ч исловы х неуб ы ваю щ их
последователь ностей снеотрицатель ны и элем ентам и;
              2.   F1 = {F ( x) = P{S    n   < x}, x ∈ R`}n=1 :
                                                           ∞



                                     n                  λ
                                                                  x
            Fn ( x) = P{S n < x} = P ∑ ξ k < x  = ∫           (λu ) n−1 e −λu Ι ( 0, +∞ ) (u )du =
                                      k =1      −∞  ( n − 1)!
                           λx        (λx) n −1  
            = 1 − e −λx 1 +    +K+            Ι ( 0, +∞ ) ( x),
                                                                        x ∈ R1 .
                              1!     ( n − 1)!  

Страницы