Теория случайных процессов. Михайлова И.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
5. Пусть T - некоторое числовое множество , m(t), t
∈
T – произвольная
вещественнозначная функция на T и B(s,t) – положительно орпеделённая
функция на TxT. Доказать что существует случайный процесс такой , что
m(t), t
∈
T – математическое ожидание этого процесса, а B(s,t), (s,t)
∈
T x T –
его ковариационная функция.
§ 3. Гауссовские случайные процессы . Винеровский процесс
Гауссовский случайный процесс – случайный процесс
{
}
Tt
t
∈
ξ
,
конечномерные распределения которого нормальные (гауссовские), т.е.
для любого n
∈
N и любых
n
n
Tttt ∈= ),,(
1
K
r
случайный вектор
),,(
1 n
tt
ξ
ξ
K
~ N(m(t
1
), ... m(t
n
)), Σ
t
r
), где m ( t
j
) =
j
t
M
ξ
, nj ,1= ; Σ
t
r
=
(cov(
),(),(
jktt
ttB
jk
=
ξ
ξ
)
n
jk 1, =
.
Таким образом , частные (конечномерные) распределения
гауссовского случайного процесса определяются двумя функциями:
среднее значение m ( t ) =
t
M
и ковариациионная функция B ( s,t) =
cov(
),(
ts
ξ
ξ
, s,t
∈
R.
Винеровский случайный процесс, выходящий из 0 –случайный
процесс
0
}{
≥ tt
w
и
1. w
0
= 0 п.н.;
2. гауссовский случайный процесс;
3. математическое ожидание
;0,0)(
≥
≡
ttm
ковариоционная функция B ( s,t) = min(s,t), s,t ≥ 0.
Этот процесс является математической моделью хорошо известного
физического процесса «броуновское движение» , которое совершает
взвешенная в жидкости частица под воздействием хаотических
столкновений с молекулами жидкости.
Задачи .
1. Пусть
{
}
Rt
t
∈
ξ
- гауссовский случайный процесс , математическое
ожидание которого константа
mtm
≡
)(
, а ковариационная функция
)(),(
τ
τ
rttB
=
+
, для всех
Rt
∈
,
τ
, т.е. стационарный в широком смысле
случайный процесс. Найти ковариационную функцию случайного
процесса
{
}
Rt
t
t
∈
=
2
ξη
, считая a) m = 0; b) m- - произвольное
действительное число .
2. Найти ковариационную функцию случайного процесса
{
}
Rt
tt
sign
∈
=
ξ
η
, где
{
}
Rt
t
∈
ξ
из задачи 1. 
                                                      9

     5. Пусть T - нек оторое ч исловое м ножество, m(t), t ∈ T – произволь ная
вещ ественнознач ная ф унк ция на T и B(s,t) – положитель но орпеделённая
ф унк ция на TxT. Д ок азать ч то сущ ествует случ айны й процесс так ой, ч то
m(t), t ∈ T – м атем атич еск ое ожидание этого процесса, а B(s,t), (s,t) ∈ TxT –
его к овариационная ф унк ция.


        § 3. Га уссов ские случа й ны е п р оце ссы . Вине р ов ский п р оце сс

     Гауссовск и й случай н ы й проц есс – случ айны й процесс {ξ t }t∈T ,
к онеч ном ерны е распределения к оторого норм аль ны е (гауссовск ие), т.е.
                             r
для лю б ого n∈ N и лю б ы х t = (t1 ,K , t n ) ∈ T n случ ай ны й век тор (ξ t1 , K , ξ t n )
~ N(m(t1), ... m(tn)), Σ tr ), где m(tj) = Mξ t , j = 1, n ; Σ tr =
                                                                  j


(cov( (ξ tk , ξ t j ) = B(t k , t j ) ) nk , j =1 .
       Т ак им           об разом , ч астны е (к онеч ном ерны е) распределения
гауссовск ого случ айного процесса определяю тся двум я ф унк циям и:
среднее знач ение m(t) = Mξ t и к овариациионная ф унк ция B(s,t) =
cov( (ξ s , ξ t ) , s,t ∈ R.
       Ви н еровск и й случай н ы й проц есс, вы ходящ ий из 0 – случ айны й
процесс{wt }t ≥0 и
                      1. w0 = 0 п.н.;
                      2. гауссовск ий случ айны й процесс;
                      3. м атем атич еск ое ожидание m(t ) ≡ 0, t ≥ 0;
                      к овариоционная ф унк ция B(s,t) = min(s,t), s,t ≥ 0.

     Э тот процесс является м атем атич еск ой м одель ю хорош о известного
ф изич еск ого процесса « б роуновск ое движение», к оторое соверш ает
взвеш енная в жидк ости ч астица под воздействием хаотич еск их
столк новений см олек улам и жидк ости.
     За да чи.
     1. Пусть {ξ t }t∈R - гауссовск ий случ ай ны й процесс, м атем атич еск ое
ожидание к оторого к онстанта m(t ) ≡ m , а к овариационная ф унк ция
B (t + τ , t ) = r (τ ) , для всех τ , t ∈ R , т.е. стационарны й в ш ирок ом см ы сле
случ айны й процесс. Н айти к овариационную ф унк цию случ айного
                    {                }
процесса ηt = ξ t t∈R , сч итая a) m = 0; b) m- - произволь ное
                                 2


действитель ное ч исло.
     2. Н айти к овариационную                ф унк цию случ ай ного процесса
{ηt = signξt }t∈R , где {ξt }t∈R из задач и 1.

Страницы