Теория вероятностей. Михайлова И.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
полнить семь действий (заполнить семь мест), то есть
r
= 7. На одно из этих
действий (заполнение места водителя ) наложены ограничения . Поэтому это
действие будем считать первым и тогда
1
n
= 3, после чего заполнение любого из
оставшихся можно осуществить
2
n
= 6 способами и т. д . Заполнение последнего
места можно выполнить только одним способом, то есть
7
n
= 1. Согласно прин -
ципу умножения, все семь действий можно выполнить 3
6!
способами.
Принципы умножения и сложения дают нам общий метод решения задач .
Помимо этого общего метода, полезными оказываются следующие понятия и
формулы .
Рассмотрим сначала следующую задачу. Из трех букв
,,
abc
нужно вы -
брать какие- то две. Сколько способов выбора? Оказывается здесь спрятаны че-
тыре задачи.
Считать ли ab и
ba
одинаковыми вариантами ? Если порядок выбора су-
щественен , то варианты выбора будем называть размещениями. Если порядок
выбора безразличен , то варианты выбора будем называть сочетаниями.
Другой важный вопрос - возможны ли повторения? То есть можем ли мы
выбирать два раза одну какую - либо букву? Если да, то мы говорим о размеще-
ниях или сочетаниях с повторениями, а если нет - то о размещениях или соче-
таниях без повторений .
Итак , пусть
{
}
12
,,...,
n
Bbbb
= - множество произвольной природы, содер-
жащее п элементов, n
1,2,...
=
.
Размещениями без повторений или просто размещениями из n элемен -
тов множества В по
r
элементов будем называть всевозможные упорядоченные
подмножества В , содержащие
r
различных элементов множества В . Число раз -
мещений из n по
r
(
)
(
)
1...1,0;
r
n
Annnrrn
=−−+<≤
и
0,
r
n
A
=
при
.
rn
>
Размещениями с повторением из п элементов множества
B
по
r
элемен -
тов будем называть упорядоченные наборы по
r
элементов множества
B
, сре-
ди которых могут быть и одинаковые элементы . Число таких размещений
,1,2,...
rr
n
Anr== .
Перестановками из п элементов множества В назовем размещения из п
элементов множества
B
по n элементов. Число перестановок из п различных
элементов
!
n
Pn
=
.
Сочетаниями из n элементов множества
B
по
r
элементов называются
подмножества множества В , содержащие
r
различных элементов множества В .
Число сочетаний из n по
r
,
!
r
r
n
n
A
C
=
0;
rn
<≤
()
!
,
!!
r
n
n
C
rnr
=
−
0,
rn
≤≤
0!1.
=
Сочетаниями с повторениями из п элементов множества В по
r
элемен -
тов называются всевозможные наборы , содержащие
r
элементов множества В ,
среди которых могут быть одинаковые. Число сочетаний с повторениями из
n
по
r
                                             4
полнить семь д ействий (заполнить семь мест), то есть r = 7. Н а од но из этих
д ействий (заполнение места вод ителя) наложены огранич ения. Поэтому это
д ействиебуд емсч итатьпервы ми тогд а n1 = 3, послеч его заполнение любого из
оставш их ся мож но осущ ествить n2 = 6 способами и т.д . Заполнениепослед него
места можно вы полнитьтольк о од нимспособом, то есть n7 = 1. Сог ласно прин-
ципуумножения, всесемьд ействий можно вы полнить3 ×6! способами.
       Принципы умножения и сложения д аютнамобщ ий метод реш ения зад ач .
Помимо этого общ его метод а, полезны ми ок азы ваются след ующ ие понятия и
ф ормулы .
       Рассмотрим снач ала след ующ ую зад ач у. И з трех бук в a, b, c нужно вы -
брать к ак ие-то д ве. Ск ольк о способоввы бора? О к азы вается зд есь спрятаны ч е-
ты резад ач и.
       Сч итатьли ab и ba од инак овы ми вариантами? Е сли поряд ок вы бора су-
щ ественен, то варианты вы бора буд ем назы вать размещ ениями. Е сли поряд ок
вы бора безразлич ен, то варианты вы бора буд емназы ватьсоч етаниями.
       Д ругой важны й вопрос- возможны ли повторения? Т о естьможемли мы
вы бирать д ва раза од ну к ак ую-либо бук ву? Е сли д а, то мы г оворимо размещ е-
ниях или соч етаниях с повторениями, а если нет- то о размещ ениях или соч е-
таниях без повторений.
       И так , пусть B = {b1 , b2 ,..., bn } - множество произвольной природ ы , сод ер-
жащ ееп элементов, n = 1,2,... .
       Размещ ениями без повторений или просто размещ ениями из n элемен-
товмножества В по r элементовбуд емназы вать всевозможны еупоряд оч енны е
под множества В , сод ержащ ие r различ ны х элементов множества В . Ч исло раз-
мещ ений из n по r
        Anr = n ( n − 1) ...( n − r + 1) ,0 < r ≤ n; и Anr = 0, при r > n.
       Размещ ениями с повторениемиз п элементов множества B по r элемен-
товбуд емназы вать упоряд оч енны е наборы по r элементов множества B , сре-
д ик оторы х мог утбы тьиод инак овы еэлементы . Ч исло так их размещ ений
        Anr = n r , r = 1, 2,... .
       Перестановк ами из п элементов множества В назовем размещ ения из п
элементов множества B по n элементов. Ч исло перестановок из п различ ны х
элементов Pn = n! .
       Соч етаниями из n элементов множества B по r элементов назы ваются
под множества множества В , сод ержащ ие r различ ны х элементовмножества В .
Ч исло соч етаний из n по r
              Ar                                    n!
       Cnr = n , 0 < r ≤ n;            Cnr =                , 0 ≤ r ≤ n, 0! = 1.
               r!                             r !( n − r )!

      Соч етаниями с повторениями из п элементов множества В по r элемен-
товназы ваются всевозможны е наборы , сод ержащ ие r элементовмножества В ,
сред и к оторы х мог утбы ть од инак овы е. Ч исло соч етаний с повторениями из
n по r

Страницы