Практикум по курсу общей физики по специальностям "География", "Природопользование", "Геоэкология". Миловидова С.Д - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
совершать гармонические колебания под действием силы упругости
пружины F= – kx. Однако гармонические колебания возникают под
действием не только упругих , но и других сил, по природе не упругих , но
для которых остается справедливым закон F= – kx Такие силы получили
название квазиупругих .
Как известно , движение системы под действием силы описывается 2-
м законом Ньютона : ma =F,
где a - ускорение колеблющейся системы (
2
2
dt
xd
a =
), а F= – kx для
гармонических колебаний . Тогда второй закон Ньютона будет иметь вид
неполного дифференциального уравнения второго порядка
0
2
2
=+ kx
dt
xd
m
, (3)
которое называют уравнением движения классического осциллятора .
Решением данного уравнения (3) является выражение (1), что
нетрудно проверить, дифференцируя дважды (1) по времени и подставляя
в уравнение (3). При этом получим , что
.
2
m
k
=ω
, (4)
ω называется собственной частотой колебаний системы (точки или
тела ).
Рассмотрим некоторые из классических гармонических
осцилляторов.
Математический маятник
Математическим маятником называют систему, состоящую из
невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешен шарик , масса
которого сосредоточена в одной точке (рис.2). В положении равновесия на
шарик действуют две силы : сила тяжести P=mg и сила натяжения нити N -
равные по величине и направленные в противоположные стороны .
Если маятник отклонить от положения равновесия на
небольшой угол α , то он начнет совершать колебания в
вертикальной плоскости под действием составляющей
силы тяжести P
t
, которую называют тангенциальной
составляющей (нормальная составляющая силы тяжести
P
n
будет уравновешиваться силой натяжения нити N ).
Из рис.2 видно , что тангенциальная составляющая силы
тяжести
α
sin
Ρ
−
=
Ρ
t
.
Знак минус показывает, что сила , вызывающая
колебательное движение, направлена в сторону
уменьшения угла α .
Если угол α мал, то синус можно заменить самим
углом , тогда
α
α
mg
t
−
=
−
=
,
С другой стороны , из рис.3 видно, что угол α можно
записать через длину дуги x и радиус
l
:
l
x
=α
,
Рис.2
n
P
r
l
P
r
N
r
α
α
N
r
t
P
r
P
r
                                          19
соверш а ть гармоническ ие к олеба ния под действием силы у пру гости
пру ж ины F= – kx. О дна к о га рмоническ ие к олеба ния воз          ник а ю т под
действием не тольк о у пру гих, но и дру гих сил, по природе не у пру гих, но
для к оторы х оста ется спра ведливы м з  а к он F= – kx Т а к ие силы полу чили
на зва ние ква зиупругих.
         К а к из
                вестно, движ ение системы под действием силы описы ва ется2-
мз  а к оном Н ью тона :                       ma =F,
                                                          d 2x
где a - у ск орение к олеблю щ ейся системы ( a = 2 ), а F= – kx для
                                                          dt
га рмоническ их к олеба ний. Т огда второй з    а к он Н ью тона бу дет иметь вид
неполного дифференциа льного у равнениявторого порядк а
                                      d 2x
                                  m        + kx = 0 ,                              (3)
                                      dt 2
к оторое на з  ы ва ю ту ра внением движ енияк ла ссическ огоосциллятора .
        Реш ением да нного у равнения (3) является вы ра ж ение (1), что
нетру дно проверить, дифференциру я два ж ды (1) по времени и подставляя
                                                                       k
ву ра внение (3). П ри этом полу чим, что                        ω2 = . ,            (4)
                                                                       m
ω       на зы ва ется собственной частотой к олеба ний системы (точк и или
тела ).
        Ра ссмотрим         нек оторы е    из к лассическ их            гармоническ их
осцилляторов.
                             М атем атич еский м аятник
      М а тематическ им ма ятник ом на з       ы ва ю т систему , состоящ у ю из
невесомой и нера стяж имой нити, на к оторой подвеш ен ш а рик , ма сса
к оторого сосредоточена в одной точк е (рис.2). В полож ении ра вновесия на
ш а рик действу ю тдве силы : сила тяж ести P=mg и сила на тяж ениянити N -
ра вны е по величине и на пра вленны е впротивополож ны е стороны .
                       Е сли ма ятник отк лонить от полож ения ра вновесия на
                       небольш ой у гол α, то он на чнет соверш а ть к олеба ния в
                       вертик а льной плоск ости под действием соста вляю щ ей
     α                 силы тяж ести Pt, к отору ю на з       ы ва ю т та нгенциа льной
           lr          соста вляю щ ей (норма льна я составляю щ а я силы тяж ести
  r                    Pn бу дету равновеш иватьсясилой на тяж ениянити N).
 N           N         И зрис.2 видно, что та нгенциа льна я соста вляю щ а я силы
                       тяж ести                  Ρt = −Ρ sin α .
           r r Зна к мину с пок а зы ва ет, что сила , вы зы ва ю щ а я
          Pt α Pn к олеба тельное движ ение, на пра влена в сторону
             r         у меньш енияу гла α.
    r        P
   P                          Е сли у гол α ма л, то сину с мож но з    а менить са мим
      Рис.2            у глом, тогда           Ρt = − Ρα = − mgα ,
                       С дру гой стороны , изрис.3 видно, что у гол α мож но
                                                                    x
з а писа ть черездлину ду ги x и ра диу сl :                 α= ,
                                                                   l

Страницы