ВУЗ:
Составители:
125
уравнение невозможно разрешить относительно какой-либо переменной. В
частности, если в предыдущем примере задать равенство
0)(
2
1
2
323
2
11
=++=
x
x
xxxxxh
,
то получить аналитическое выражение любой из переменных невозможно.
Таким образом, при решении задач со сложными ограничениями в виде ра-
венств целесообразно использовать метод множителей Лагранжа.
7.8. Метод множителей Лагранжа
В этом случае задача с ограничениями в виде равенств преобразуется в
эквивалентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют не-
известные параметры, называемые множителями Лагранжа. Задача:
Минимизировать f(x
1
, x
2
, …, x
N
)
при ограничениях h
k
(x
1
, x
2
, …, x
N
)=0.
В соответствии с методом множителей Лагранжа эта задача преобразу-
ется в следующую задачу безусловной оптимизации:
Минимизировать L(x,v)=f(x)-vh
1
(x).
Функция L(x,v) называется функцией Лагранжа, v – неизвестная
постоянная – множитель Лагранжа. На знак v никаких ограничений не накла-
дывается.
Пусть при заданном значении v=v
0
безусловный минимум функции
L(x,v) достигается в точке x=x
0
и x
0
удовлетворяет уравнение h
1
(x)=0. Тогда x
0
минимизирует заданную функцию.
ПРИМЕР 7.19. Минимизировать
2
2
2
1
)( xxxf +=
при ограничении:
22)(
211
−+
=
xxxh
.
Эту задачу можно записать как
)22(),(
21
2
2
2
1
−+−+= xxvxxvxL
.
Приравняем два компонента grad(L) нулю:
;;022
101
1
vxvx
x
L
==−=
∂
∂
.
2
;02
202
21
v
xvx
x
L
==−=
∂
∂
Матрица Гессе
20
02
),( =vxH
L
положительно определена, значит, имеем минимум функции.
Оптимальное значение находится подстановкой x
10
и x
20
в ограни-
чение
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- …
- следующая ›
- последняя »
