Численные методы. Мирошниченко Г.П - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

100
12. Разностные уравнения
12.1. Линейные разностные уравнения
Теория линейных разностных уравнений во многом аналогична теории
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Так, задача
Коши для линейных дифференциальных уравнений n - ого порядка
заключается в нахождении решения уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
()
1
01
11
00 01 0 1
..
, ,....,
nn
n
n
n
ax y x ax y x ax yx fx
yx y y x y y x y
−
−
−
⋅+⋅ ++⋅=
== =
.
Здесь обозначено
()
() ()
n
n
n
d
yx yx
dx
= .
Аналогично задача Коши для линейных разностных уравнений
заключается в нахождении решения уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
() ()
()
()
1
01 1
1
00 01 0 1
..
, ,....,
nn
n
n
n
c m ym c m ym c m ym f m
ym y ym y ym y
ΔΔ
ΔΔ
−
+
−
−
⋅+⋅ ++⋅=
== =
. (12.1)
Здесь
()
(
)
n
yx
Δ
- n - ая конечная разность, решение ищется на сетке
x
mh+⋅ с шагом h . Введено краткое обозначение аргументов функций
(
)
(
)
f
mfxmh≡+⋅.
Если правая часть
()
0fm= , то говорят об однородном линейном
разностном уравнении, в противном случае – о неоднородном.
Воспользовавшись определением конечной разности, можно линейное
разностное уравнение
(12.1) переписать в другой форме, которая
называется рекуррентным соотношением порядка n
() ( ) ()
0
n
p
p
bmym p fm
=
⋅+
∑
=
. (12.2)
Общим решением линейного разностного уравнения n - ого порядка
называется функция
(
)
12
, , ,...,
n
yymCC C= - числовая последовательность,
зависящая от независимой переменной (номера узла m ) и от n
произвольных постоянных
12
, ,...,
n
CC C, такая, что, во-первых, она является
решением соответствующего уравнения, и, во-вторых, произвольные
постоянные однозначно определяются по начальным условиям. Как и в
случае линейных дифференциальных уравнений, общее решение
неоднородного линейного разностного уравнения следует строить в виде

Страницы