Численные методы. Мирошниченко Г.П - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

101
суммы общего решения однородного линейного разностного уравнения и
частного решения неоднородного.
Законченный вид имеет теория линейного разностного уравнения с
постоянными коэффициентами. Однородное линейное разностное
уравнение с постоянными коэффициентами порядка n записывается так
[15]
() ( )
(
)
10
1... 0
nn
bymn b ymn bym
−
⋅++⋅+−++⋅ = . (12.3)
Покажем, что любое такое уравнение имеет в качестве частного решения
геометрическую прогрессию
{
}
, 0, 1, 2....
m
qm ±±= . Подставим
m
q в (12.3) и
получим характеристическое уравнение для знаменателя прогрессии q
1
10
... 0
nn
nn
bq b q b
−
−
⋅+ ⋅ ++= . (12.4)
Корни характеристического полинома (12.4) дают все возможные
знаменатели прогрессий, являющихся частными решениями
(12.3). Если
корень имеет кратность
1r ≥
, то на каждый такой корень q приходится
r
разных частных решений уравнения
(12.3). Этот набор имеет вид
21
, , .....
mm mrm
qmqmq m q
−
⋅⋅ ⋅.
Общее решение
(
)
12
, , ,...,
n
yymcc c= (12.3) строится, как линейная
комбинация всех различных частных решений
()
()
{
}
, 1,2....
p
ymp n=
(
)
()
(
)
()
(
)
()
(
)
12 1 2
12
, , ,..., ...
nn
n
ymcc c c y m c y m c y m⋅+⋅++⋅= . (12.5)
Линейно независимый набор частных решений называется
фундаментальным решением однородного уравнения. Зная общее решение
однородного уравнения
(12.3) можно найти частное решение
неоднородного уравнения
(
)
(
)
(
)
(
)
10
1 ...
nn
bymn b ymn bym fm
−
⋅++⋅+−++⋅ = (12.6)
с произвольной правой частью
(
)
f
m . Для этого можно воспользоваться
методом вариации произвольных постоянных, по аналогии с методом
Лагранжа в теории линейных дифференциальных уравнений. Для этого в
решении
(
)
12
, , ,...,
n
ymcc c (12.5) объявим произвольные коэффициенты
линейной комбинации функциями (последовательностями) дискретной
переменной m . Подставим решение
(
)
(
)
(
)
(
)
12
, , ,...,
n
ymc m c m c m в
уравнение
(12.6). Добавим 1n
−
дополнительное условие, связывающее n
неизвестных функций
(
)
(
)
(
)
12
, ,...,
n
cmcm c m, получим систему n
уравнений для этих функций. В силу линейной независимости
фундаментального решения, полученную систему уравнений можно
“расцепить” и по отдельности найти все решения
(
)
(
)
(
)
12
, ,...,
n
cmcm c m.
Рассмотрим неоднородное линейное разностное уравнение второго
порядка, широко применяемое в технике и в экономических задачах

Страницы