Численные методы. Мирошниченко Г.П - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

102
12mm mm
yy y
α
βε
−−
⋅+⋅+= . (12.7)
Здесь
α
,
β
- коэффициенты,
m
ε
- “белый” шум. Это уравнение носит
название стохастической авторегрессионной модели второго порядка
(
)
2AR [16]. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
(трехчленное рекуррентное соотношение)
12
0
mm m
yy y
α
β
−−
−⋅ −⋅ =
. (12.8)
Характеристическое уравнение (12.4)для этой модели
2
0qq
αβ
−⋅−= . (12.9)
Корни этого уравнения
2
1,2
22
q
αα
β
⎛⎞
±+
⎜⎟
⎝⎠
= .
Если
12
qq≠ , то фундаментальная система решений имеет вид
() ()
{
}
12
,
mm
qq, в случае
12
qqq== фундаментальная система решений
запишется
{
,
mm
qmq⋅ . В зависимости от детерминанта
2
4D
α
β
+⋅=
уравнения возможны следующие случаи.
1. 0D > . Характеристическое уравнение имеет два различных
вещественных корня. Если оба корня положительны, то оба частных
решения однородного уравнения – монотонные геометрические
прогрессии. Если какой либо корень отрицателен, то ему соответствует
знакочередующееся решение.
2. 0D
= . Корни совпадают, фундаментальная система имеет вид
{
,
mm
qmq⋅
.
3. 0D < . Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных
комплексных корней
1,2 1 2
qsis
±
⋅= . Фундаментальная система решений
запишется в виде
(
)
(
)
{
cos , sin
mm
qmqm
ω
ω
⋅⋅ ⋅⋅, где параметры q и
ω
естественным образом связаны с
1
s
и
2
s
. Общее решение носит характер
колебаний с возрастающей амплитудой 1q > , или с убывающей - 1q < .
Решение однородного уравнения
(12.8) называют равновесным, если
(
)
ym не зависит от m . Очевидно
0
m
y =
есть равновесное решение (12.8).
Решение
(12.8) называют устойчивым, если lim 0
m
m
y
→∞
= . В противном
случае решение неустойчиво. Очевидно, решение устойчиво, если
1,2
1q
<
.
Условие устойчивости выражается через коэффициенты
11
β
α
−< <− . (12.10)
Зададим параметры
α
и
β
так, чтобы два корня
12
,qaqb==
характеристического уравнения
(12.9) были бы разными, вещественными
и по модулю меньшими единицы

Страницы