Решение задач по физике. Распределения Максвелла и Больцмана. Мишаков В.Г - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

где F
v
- Максвелловская функция распределения частиц по модулю ско-
рости (Рис. 1, пунктирная кривая справа).
F
v
= 4πv
2
(m/2πkT )
3/2
exp(−mv
2
/2kT ). (9)
"Приведенный" вид Максвелловской функции распределения
частиц по скоростям
Максвелловскому распределению по скоростям можно придать вид (см.
задачу 7 ):
F
u
= (4/
√
π)u
2
exp(−u
2
), (10)
где u = v/v
ver
, v
ver
=
p
2kT/m.
График функции F
u
приведен на Рис. 2. Число молекул dN
du
, имеющих
относительную скорость u в интервале от u до u + du, равно
dN
du
= NF
u
du. (11)
Функция F
u
, как и все функции распределения по скоростям и энергиям
нормирована на единицу.
Z
∞
0
F
u
du =
Z
∞
0
(4/
√
π)u
2
exp(−u
2
) = 1. (12)
При решении задач часто возникает необходимость вычисления интегра-
ла
Ψ(x) =
Z
x
0
(4/
√
π)u
2
exp(−u
2
)du. (13)
Взятие этого интеграла по частям приводит у формуле:
Ψ(x) = −
2
√
π
x exp(−x
2
) +
2
√
π
Z
x
0
exp(−u
2
)du. (14)
Второе слагаемое в правой части этого равенства есть так называемая
функция ошибок erf(x), а первое слагаемое производная от нее, помно-
женная на −x. В итоге равенство (14) приобретает вид:
Φ(x) = −x
d
dx
erf(x) + erf(x). (15)
О вычислении функции erf(x) см. ниже (формулы (29) и (30)).
6

Страницы