Элементы вариационного исчисления. Молчанова Л.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y(1) = 2
F
y
0
y
0
f := x
2
+ y(x)
2
+ (
d
dx
y(x))
2
{2y(x) − 2(
d
2
dx
2
y(x))}
res1 := y(x) =
e(e
2
− 2)e
(−x)
−1 + e
4
+
e(2e
2
− 1)e
x
−1 + e
4
y := 0.273311173e
(−1.x)
+ 0.6987702374e
x
F := (x, yn, yn1) → x
2
+ yn
2
+ yn1
2
F
y
, F
y y
0
, F
xy
0
, F
y
0
y
0
dfdy := 2yn
dfdy1 := 2yn1
Èññëåäîâàòü íàéäåííóþ ýêñòðåìàëü íà äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ è ïîñòðîèòü
åå ãðàôèê.
    Ðàññìîòðåòü äâà âàðèàíòà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ïðàâîì êîíöå:
1) y(1) = 2
2) ãðàíè÷íîå óñëîâèå íå çàäàíî.
    Àëãîðèòì ðåàëèçàöèÿ: ñîñòàâëÿåòñÿ óðàâíåíèå Ýéëåðà â âèäå (7), ðåøà-
åòñÿ ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (çàäàííûõ èëè åñòåñòâåííîì), ñòðîÿòñÿ ãðà-
ôèêè è èññëåäóåòñÿ âûïîëíåíèå äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà - ïðî-
âåðÿåòñÿ çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé Fy0 y0 .
    Ðåøåíèå. Ïîäêëþ÷åíèå ïàêåòà VariationalCalculus
>restart:with(VariationalCalculus);
îïðåäåëåíèå ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ôóíêöèîíàëà
>f:=x^2+y(x)^2+diff(y(x),x)^2;
                                             d
                       f := x2 + y(x)2 + ( dx  y(x))2
ïîëó÷åíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû EulerLagrange
>EulerLagrange(f,x,y(x));
                                       d2
                          {2y(x) − 2( dx 2 y(x))}

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ çàäàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
>res1:=dsolve({op(%)=0,y(-1)=1,y(1)=2},y(x));
> assign(res1):y:=evalf(y(x));
                                e(e2 − 2)e(−x)   e(2e2 − 1)ex
               res1 := y(x) =                  +
                                   −1 + e4         −1 + e4
                        y := 0.273311173e(−1.x) + 0.6987702374ex
îïðåäåëåíèå ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
>F:=(x,yn,yn1)->x^2+yn^2+yn1^2;
                           F := (x, yn, yn1) → x2 + yn2 + yn12
âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè F:
Fy , Fyy0 , Fxy0 , Fy0 y0 äëÿ óðàâíåíèÿ Ýéëåðà
>dfdy:=diff(F(x,yn,yn1),yn);dfdy1:=diff(F(x,yn,yn1),yn1);
                                        df dy := 2yn
                                      df dy1 := 2yn1
>d3:=diff(dfdy1,x);d4:=diff(dfdy1,yn);d5:=diff(dfdy1,yn1);
                                            d3:=0
                                            d4:=0
                                            d5:=2
ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà
>eq:=dfdy-d3-d4*yn1-d5*yn2=0;
                                     eq:=2yn-2yn2=0
>eq:=simplify(lhs(eq/2))=0;

                                     11

Страницы