Элементы вариационного исчисления. Молчанова Л.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F := (
d
dx
y(x))
2
+ (
d
dx
z(x))
2
+ 2y(x)z(x)
{−(
d
dx
y(x))
2
−(
d
dx
z(x))
2
+2y(x)z(x)=K
1
,
2z(x)−2(
d
2
dx
2
y(x)), 2y(x)−2(
d
2
dx
2
z(x))}
e1 := z(x) − (
d
2
dx
2
y(x)) = 0
e2 := y(x) − 2(
d
2
dx
2
z(x)) = 0
res1 := {z(x) = −
1
2
e
2
(−2e
4
+ (e
4
)
2
+ 1 − e
8
e
8
− 1
+
+
1
2
e
2
(e
4
− 2)e
(−x)
e
8
− 1
+
3
4
sin(x)
sin(2)
−
1
4
cos(2) cos(x)
sin(2)
2
− 1
,
y(x)=
1
2
e
2
(e
4
−2)e
(−x)
e
8
− 1
−
1
2
e
2
(−2e
4
+(e
4
)
2
+1−e
8
e
8
− 1
−
3
4
sin(x)
sin(2)
+
1
4
cos(2) cos(x)
sin(2)
2
−1
}
y := 0.0652107650e
(−1.x)
+ 0.13414e
x
− 0.0824 sin(x) + 0.60074 cos(x)
z := 0.0652107650e
(−1.x)
+ 0.13414e
x
+ 0.0824 sin(x) − 0.60074 cos(x)
îïðåäåëåíèå ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
>F:=diff(y(x),x)^2+diff(z(x),x)^2+2*y(x)*z(x);

                               d            d
                     F := (      y(x))2 + ( z(x))2 + 2y(x)z(x)
                              dx           dx
ïîëó÷åíèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà
>EulerLagrange(F,x,[y(x),z(x)]);
>el:=simplify(op(1,%)/2)=0:e2:=simplify(op(2,%%)/2)=0:

                            d           d
                     {−(      y(x))2 −( z(x))2 +2y(x)z(x)=K1 ,
                           dx          dx

                                  d2                  d2
                      2z(x)−2(       y(x)), 2y(x)−2(     z(x))}
                                 dx2                 dx2
                                                d2
                              e1 := z(x) − (       y(x)) = 0
                                               dx2
                                   d2
                             e2 := y(x) − 2(
                                      z(x)) = 0
                                  dx2
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ çàäàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
>res:=dsolve({e1,e2,y(-2)=1,y(2)=0,z(-2)=0,z(2)=2},{y(x),z(x)});

                                      1 e2 (−2e4 + (e4 )2 + 1 − e8
                res1 := {z(x) = −                                  +
                                      2          e8 − 1

                    1 e2 (e4 − 2)e(−x)   3 sin(x) 1 cos(2) cos(x)
                +                      +         −                ,
                    2      e8 − 1        4 sin(2) 4 sin(2)2 − 1

         1 e2 (e4 −2)e(−x) 1 e2 (−2e4 +(e4 )2 +1−e8 3 sin(x) 1 cos(2) cos(x)
 y(x)=                    −                        −         +               }
         2      e8 − 1      2        e8 − 1          4 sin(2) 4 sin(2)2 −1
>assign(res):y:=evalf(y(x));z:=evalf(z(x));
    y := 0.0652107650e(−1.x) + 0.13414ex − 0.0824 sin(x) + 0.60074 cos(x)
    z := 0.0652107650e(−1.x) + 0.13414ex + 0.0824 sin(x) − 0.60074 cos(x)
ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ íàéäåííûõ ýêñòðåìàëåé
>py:=plot(y,x=-2..2,title="primer 2",
legend="y(x)",color=black,linestyle=4):
>pz:=plot(z,x=-2..2,legend="z(x)",color=black):
>plots[display]({py,pz});



                                          13

Страницы